Determine as abscissas dos pontos do gráfico de y=x^3+2 x^2-4 x+5, nos quais:
(a) a reta tangente é horizontal.
(b) a reta tangente é paralela à reta 2 y+8 x-5=0.

Passo 1

O enunciado dá a função y = x^3 + 2x^2 - 4x + 5 e pede as abscissas onde a reta tangente é (a) horizontal e (b) paralela à reta 2y + 8x - 5 = 0. Para isso precisamos lembrar que a inclinação da reta tangente é dada pela derivada y', que deve valer 0 em (a) e igual ao coeficiente angular da reta dada em (b).

Passo 2

Calculamos a derivada de y em relação a x:
y' = dydx = 3x^2 + 4x - 4

Passo 3

Para (a), tangente horizontal implica
y' = 0 Longrightarrow 3x^2 + 4x - 4 = 0
O discriminante é De<a = 4^2 - 4cdot3cdot(-4) = 16 + 48 = 64, logo
x = -4 pm raiz642cdot3 = -4 pm 86,
resultando em
x = 46 = tfrac23 e x = -126 = -2

Passo 4

Para (b), reescrevemos a reta dada como
2y + 8x - 5 = 0 Longrightarrow y = -4x + tfrac52,
portanto seu coeficiente angular é -4. Impomos
y' = -4 Longrightarrow 3x^2 + 4x - 4 = -4 Longrightarrow 3x^2 + 4x = 0 Longrightarrow x(3x+4)=0,
de onde
x = 0 ou x = -tfrac43

Resposta

(a) x = -2 e x = tfrac23
(b) x = 0 e x = -tfrac43

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