Determine os valores de x para os quais as séries abaixo convergem.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
a série
converge. O conteúdo é séries infinitas do tipo geométrico, e vamos precisar usar o critério de convergência de uma série geométrica.
Passo 2
Note que podemos reescrever o termo geral como
Portanto a série é geométrica de razão
Passo 3
Uma série geométrica
converge se, e somente se,
. Logo precisamos resolver
Passo 4
A desigualdade
llvert x^2/(1-x)rrvert<1 equivale a
Devemos analisar os dois casos
1-x>=0 e
1-x<0 .
Passo 5
Caso
1-x>=0 (ou seja
x<=1 ). Então
lvert1-xrvert=1-x e a condição vira
O polinômio
x^2+x-1 tem raízes
Como é um trinômio de coeficiente positivo em
x^2 , ele é negativo exatamente entre as raízes. Assim, neste caso
Passo 6
Caso
1-x<0 (ou seja
x>1 ). Então
lvert1-xrvert=x-1 e a condição seria
Mas o discriminante desta quadrática é
De<a=1-4<0 , então
x^2-x+1>0 para todo
x real. Não há solução em
x>1 .
Passo 7
Juntando tudo obtemos que a série converge se, e somente se,
Resposta
A série converge para