Determine os valores de x para os quais as séries abaixo convergem.
sumn=1^infty x^2 n(1-x)^n.

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de x a série
sumn=1^inftyx^2n(1-x)^n
converge. O conteúdo é séries infinitas do tipo geométrico, e vamos precisar usar o critério de convergência de uma série geométrica.

Passo 2

Note que podemos reescrever o termo geral como
x^2n(1-x)^n=l(x^21-xr)^n
Portanto a série é geométrica de razão
r=x^21-x

Passo 3

Uma série geométrica sumn=1^infty r^n converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Logo precisamos resolver
llvertx^21-xrrvert<1

Passo 4

A desigualdade llvert x^2/(1-x)rrvert<1 equivale a
x^2<lvert 1-xrvert
Devemos analisar os dois casos 1-x>=0 e 1-x<0.

Passo 5

Caso 1-x>=0 (ou seja x<=1). Então lvert1-xrvert=1-x e a condição vira
x^2<1-x Long<=ftrightarrow x^2+x-1<0
O polinômio x^2+x-1 tem raízes
x=-1pmraiz1+42 =-1pmraiz52
Como é um trinômio de coeficiente positivo em x^2, ele é negativo exatamente entre as raízes. Assim, neste caso
-1-raiz52<x<-1+raiz52

Passo 6

Caso 1-x<0 (ou seja x>1). Então lvert1-xrvert=x-1 e a condição seria
x^2<x-1 Long<=ftrightarrow x^2-x+1<0
Mas o discriminante desta quadrática é De<a=1-4<0, então x^2-x+1>0 para todo x real. Não há solução em x>1.

Passo 7

Juntando tudo obtemos que a série converge se, e somente se,
-1-raiz52<x<-1+raiz52

Resposta

A série converge para
xinl(tfrac-1-raiz52,,tfrac-1+raiz52r)

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