Determine o raio de convergência e o intervalo aberto de convergência da seguinte série de potências:
sumn=0^infty 2^n(x-3)^nn!.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências que precisa descobrir o raio de convergência e o intervalo aberto de convergência. A série é:
sumn=0^infty 2^n(x-3)^nn!
Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a descobrir para quais valores de x a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. A fórmula do teste é:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an é o termo geral da série. Se L < 1, a série converge.
Nesse nosso caso, an = 2^n(x-3)^nn!. Então, vamos calcular an+1:
an+1 = 2^n+1(x-3)^n+1(n+1)!

Passo 3

Agora, vamos montar a razão an+1an:
an+1an = 2^n+1(x-3)^n+1(n+1)! times n!2^n(x-3)^n = 2(x-3)n+1
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | 2(x-3)n+1 | = 0
Como 0 é menor que 1, isso significa que a série converge para qualquer valor de x.

Resposta

O raio de convergência é infinito ( R = infty) e o intervalo aberto de convergência é (- infty, infty).

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