Determine o raio de convergência e o intervalo aberto de convergência da seguinte série de potências:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências que precisa descobrir o raio de convergência e o intervalo aberto de convergência. A série é:
Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a descobrir para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. A fórmula do teste é:
Onde
an é o termo geral da série. Se
L < 1 , a série converge.
Nesse nosso caso,
an = 2^n(x-3)^nn! . Então, vamos calcular
an+1 :
Passo 3
Agora, vamos montar a razão
an+1an :
Agora, vamos calcular o limite quando
n tende ao infinito:
Como 0 é menor que 1, isso significa que a série converge para qualquer valor de
x .
Resposta
O raio de convergência é infinito (
R = infty ) e o intervalo aberto de convergência é
(- infty, infty) .