Determine o raio de convergência e o intervalo aberto de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^infty x^nn^n+1.

Passo 1

Este exercício pede para determinar o raio de convergência e o intervalo aberto de convergência da série de potências centrada em zero sumn=1^infty x^nn^n+1. O conteúdo principal é séries de potências e usaremos o teste da raiz e a definição de raio de convergência.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, identificamos an=1n^n+1 e calculamos
limntoinfty |an|^1/n =limntoinftygl(1n^n+1gr)^1/n =limntoinfty1n^1+1/n
Como n^1/nto1 quando ntoinfty, o denominador cresce como n e portanto esse limite vale 0.

Passo 3

O raio de convergência R de uma série de potências sum an x^n é dado por R=1/limsupntoinfty|an|^1/n. Aqui temos limsup|an|^1/n=0, logo
R=10=+infty
Isso significa que a série converge para todo xin(-infty,infty).

Resposta

Raio de convergência: R=+infty. Intervalo aberto de convergência: (-infty,infty).

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