Determine o raio de convergência e o intervalo aberto de convergência da seguinte série de potências:
.
Passo 1
Este exercício pede para determinar o raio de convergência e o intervalo aberto de convergência da série de potências centrada em zero
. O conteúdo principal é séries de potências e usaremos o teste da raiz e a definição de raio de convergência.
Passo 2
Para aplicar o teste da raiz, identificamos
e calculamos
Como
quando
, o denominador cresce como
e portanto esse limite vale 0.
Passo 3
O raio de convergência
de uma série de potências
é dado por
. Aqui temos
, logo
Isso significa que a série converge para todo
.
Resposta
Raio de convergência:
. Intervalo aberto de convergência:
.