Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sum (-3)^n(x-1)^nn^2 2^n

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências centrada em 1
sumn=1^infty (-3)^n(x-1)^nn^22^n
O conteúdo é séries de potências e precisamos determinar o raio de convergência usando o teste da raiz (ou razão) e, em seguida, analisar os extremos para achar o intervalo de convergência.

Passo 2

Identificamos o coeficiente geral
$$
a_n = \frac{(-3){n}}{n{2}2^{n}} an = (-3)^nn^22^n
|a_n|^{1/n} = \frac{3}{2},n^{-2/n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{3}{2}.
|an|^1/n = 32,n^-2/nxrightarrow[ntoinfty]32 êé
R = \frac{1}{\limsup |a_n|^{1/n}} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}.
$$

Passo 3

O intervalo central é dado por
|x-1|<23implies xinl(1-tfrac23,1+tfrac23r) = l(tfrac13,tfrac53r)
Para os extremos:
  • Em x=1/3, temos x-1=-2/3 e o termo geral vira 1/n^2, que converge (p-série com p=2>1).
  • Em x=5/3, temos x-1=2/3 e o termo geral vira (-1)^n/n^2, que também converge absolutamente.
    Portanto, ambos os extremos estão incluídos.

Passo 4

Concluímos que o raio de convergência é R=2/3 e o intervalo de convergência é fechado de 1/3 a 5/3.

Resposta

Raio de convergência: R=tfrac23. Intervalo de convergência: [tfrac13,,tfrac53].

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