Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
O enunciado apresenta a série de potências centrada em 1
O conteúdo é séries de potências e precisamos determinar o raio de convergência usando o teste da raiz (ou razão) e, em seguida, analisar os extremos para achar o intervalo de convergência.
Passo 2
Identificamos o coeficiente geral
$$
a_n = \frac{(-3){n}}{n{2}2^{n}}
|a_n|^{1/n} = \frac{3}{2},n^{-2/n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{3}{2}.
R = \frac{1}{\limsup |a_n|^{1/n}} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}.
$$
Passo 3
O intervalo central é dado por
Para os extremos:
- Em
, temos e o termo geral vira , que converge (p-série com ). - Em
, temos e o termo geral vira , que também converge absolutamente.
Portanto, ambos os extremos estão incluídos.
Passo 4
Concluímos que o raio de convergência é
e o intervalo de convergência é fechado de
a
.
Resposta
Raio de convergência:
. Intervalo de convergência:
.