Use a regra da cadeia para calcular a integral integral 4 x cos (x^2+4) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral integral 4x cos(x^2 + 4) dx. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a técnica da Regra da Cadeia, que também é conhecida como substituição. Para isso, vamos identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte interna da função trigonométrica. Observamos que dentro do cosseno temos x^2 + 4. Vamos chamar essa expressão de u:
u = x^2 + 4

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, ou seja, du/dx:
dudx = 2x
Assim, du = 2x,dx. Mas na nossa integral temos 4x,dx, então vamos ajustar isso:
4x,dx = 2 cdot 2x,dx = 2,du

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral 4x cos(x^2 + 4) dx = integral 2 cos(u) du

Passo 5

Agora, integremos 2 cos(u) em relação a u:
integral 2 cos(u) du = 2 sin(u) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para a expressão original em termos de x:
2 sin(u) + C = 2 sin(x^2 + 4) + C

Resposta

A integral integral 4x cos(x^2 + 4) dx é igual a 2 sin(x^2 + 4) + C.

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