Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sum n ! x^n(2 n) !

Passo 1

A gente tem a série de potências abaixo e precisa achar o raio de convergência ® e o intervalo de convergência:
sumn=0^infty n!,x^n(2n)!
O conteúdo aqui é séries de potências e a ferramenta mais direta é o teste da razão de Cauchy para séries de potências.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, primeiro identificamos o coeficiente geral an = n!(2n)!. Então consideramos
|an+1x^n+1anx^n| =|x|(n+1)!/(2n+2)!n!/(2n)! =|x|n+1(2n+2)(2n+1) =|x|2(2n+1)
Agora analisamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|x|2(2n+1)=0
Isso significa que, para qualquer x, esse limite é menor que 1, então a série converge sempre.

Passo 3

Como o limite da razão é zero para todo x, concluímos que o raio de convergência é infinito ( R=infty), ou seja, a série converge para todo número real. Portanto o intervalo de convergência é (-∞,∞).

Resposta

R = ∞ e intervalo de convergência = (-∞, ∞)

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