Calcule a massa de uma lâmina com densidade
que
ocupa a região planar
do primeiro quadrante, delimitada por
e
, ou seja,
e
. Sabendo que a massa é a integral da densidade e resolva por coordenadas polares
ocupa a região planar
Passo 1
Então, galera! A gente tem aqui um exercício que pede para calcular a massa de uma lâmina, ou seja, uma forma plana, que tem uma densidade dada pela função $ p(x, y) = \frac{(x+y)2}{(x2 + y2){3/2}} $. A área que essa lâmina ocupa está no primeiro quadrante do plano cartesiano e é delimitada pelo círculo $ x^2 + y^2 = 16 $ e pela reta $ x + y = 4 $. Nosso objetivo é usar cálculo integral em coordenadas polares para encontrar essa massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a massa de uma lâmina é calculada integrando a densidade sobre toda a área que ela ocupa. Ou seja, a massa $ M $ é dada por:
Onde $ R $ é a região ocupada pela lâmina e $ dA $ é um elemento de área.
Passo 3
Agora, como estamos trabalhando com figuras que envolvem círculos e curvas radiais, é mais fácil resolver essa integral usando coordenadas polares. Mas, o que são coordenadas polares? É um sistema onde cada ponto é determinado por uma distância $ r $ ao origem e um ângulo $ \theta $ com o eixo positivo $ x $.
A conversão de coordenadas cartesianas $ (x, y) $ para polares $ (r, \theta) $ é feita por:
E o elemento de área $ dA $ em coordenadas polares é:
Passo 4
Vamos identificar a região $ R $ em coordenadas polares. Temos duas fronteiras:
- O círculo $ x^2 + y^2 = 16 $ que, em polares, fica $ r^2 = 16 $, ou seja, $ r = 4 $.
- A reta $ x + y = 4 $. Substituindo $ x $ e $ y $ por $ r \cos \theta $ e $ r \sin \theta $, temos $ r (\cos \theta + \sin \theta) = 4 $, então $ r = \frac{4}{\cos \theta + \sin \theta} $.
Como estamos no primeiro quadrante, os limites para $ \theta $ vão de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $.
Então, para cada $ \theta $ entre $ 0 $ e $ \frac{\pi}{2} $, $ r $ varia de $ \frac{4}{\cos \theta + \sin \theta} $ até $ 4 $.
Passo 5
Vamos reescrever a densidade $ p(x, y) $ em coordenadas polares. Substituindo $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral para a massa $ M $:
Note que o $ r $ do denominador e o $ r $ do elemento de área se cancelam:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a $ \theta $:
Expandindo $ (\cos \theta + \sin \theta)^2 $:
Simplificando usando $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Substituindo $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
Substituindo $ \theta = 0 $:
Calculando a diferença:
Resposta
A massa da lâmina é $ M = 2\pi - 8 $ unidades de massa.