Calcule a massa de uma lâmina com densidade p(x, y)=(x+y)^wed>= 2 /(x^wed>= 2 +y^wed>= 2)^wed>= 3 / 2 que
ocupa a região planar R do primeiro quadrante, delimitada por x^wed>= 2+y^wed>= 2=16 e x+y=4, ou seja, R=(x, y) E R^wed>= 2 / 0 <= y <= 4 e 4-y <= x <=(16-y^wed>= 2)^wed>= 1 / 2. Sabendo que a massa é a integral da densidade e resolva por coordenadas polares

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um exercício que pede para calcular a massa de uma lâmina, ou seja, uma forma plana, que tem uma densidade dada pela função $ p(x, y) = \frac{(x+y)2}{(x2 + y2){3/2}} $. A área que essa lâmina ocupa está no primeiro quadrante do plano cartesiano e é delimitada pelo círculo $ x^2 + y^2 = 16 $ e pela reta $ x + y = 4 $. Nosso objetivo é usar cálculo integral em coordenadas polares para encontrar essa massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a massa de uma lâmina é calculada integrando a densidade sobre toda a área que ela ocupa. Ou seja, a massa $ M $ é dada por:
M
Onde $ R $ é a região ocupada pela lâmina e $ dA $ é um elemento de área.

Passo 3

Agora, como estamos trabalhando com figuras que envolvem círculos e curvas radiais, é mais fácil resolver essa integral usando coordenadas polares. Mas, o que são coordenadas polares? É um sistema onde cada ponto é determinado por uma distância $ r $ ao origem e um ângulo $ \theta $ com o eixo positivo $ x $.
A conversão de coordenadas cartesianas $ (x, y) $ para polares $ (r, \theta) $ é feita por:
r
theta
E o elemento de área $ dA $ em coordenadas polares é:
x

Passo 4

Vamos identificar a região $ R $ em coordenadas polares. Temos duas fronteiras:
  1. O círculo $ x^2 + y^2 = 16 $ que, em polares, fica $ r^2 = 16 $, ou seja, $ r = 4 $.
  2. A reta $ x + y = 4 $. Substituindo $ x $ e $ y $ por $ r \cos \theta $ e $ r \sin \theta $, temos $ r (\cos \theta + \sin \theta) = 4 $, então $ r = \frac{4}{\cos \theta + \sin \theta} $.
Como estamos no primeiro quadrante, os limites para $ \theta $ vão de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $.
Então, para cada $ \theta $ entre $ 0 $ e $ \frac{\pi}{2} $, $ r $ varia de $ \frac{4}{\cos \theta + \sin \theta} $ até $ 4 $.

Passo 5

Vamos reescrever a densidade $ p(x, y) $ em coordenadas polares. Substituindo $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $:
p(x, y)

Passo 6

Agora, vamos montar a integral para a massa $ M $:
M
Note que o $ r $ do denominador e o $ r $ do elemento de área se cancelam:
M = integral0^pi2 integral4cos theta + sin theta^4 (cos theta + sin theta)^2r cdot r , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
r
Substituindo os limites:
integral4cos theta + sin theta^4 (cos theta + sin theta)^2 , dr = (cos theta + sin theta)^2 [ r ]4cos theta + sin theta^4
Simplificando:
= (cos theta + sin theta)^2 ( 4 - 4cos theta + sin theta )

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a $ \theta $:
theta
Expandindo $ (\cos \theta + \sin \theta)^2 $:
M = integral0^pi2 [ 4 (cos theta + sin theta)^2 - 4 (cos theta + sin theta) ] dtheta
Simplificando usando $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $:
(cos theta + sin theta)^2
= integral0^pi2 [ 4 (cos^2 theta + 2 cos theta sin theta + sin^2 theta) - 4 (cos theta + sin theta) ] dtheta
Integrando termo a termo:
cos^2 theta + sin^2 theta = 1
Calculando nos limites:
Substituindo $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
= integral0^pi2 [ 4 (1 + 2 cos theta sin theta) - 4 (cos theta + sin theta) ] dtheta
Substituindo $ \theta = 0 $:
= integral0^pi2 [ 4 + 8 cos theta sin theta - 4 cos theta - 4 sin theta ] dtheta
Calculando a diferença:
= 4 theta - 4 sin theta + 4 cos theta - 4 (-cos theta) |0^pi2

Resposta

A massa da lâmina é $ M = 2\pi - 8 $ unidades de massa.

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