Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (n+1)^2n^3(x-2)^n

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em 2: sumn=1^infty (n+1)^2n^3(x-2)^n. Vamos usar o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Definimos o coeficiente geral an=(n+1)^2n^3(x-2)^n. Aplicamos o teste da razão calculando L=limntoinfty|an+1an|.
Temos
|an+1an| =|x-2|cdot(n+2)^2/(n+1)^3(n+1)^2/n^3 =|x-2|cdotn^3(n+2)^2(n+1)^5

Passo 3

Ao levar ntoinfty, observa-se que
n^3(n+2)^2(n+1)^5to1, logo
L=|x-2|

Passo 4

Pelo teste da razão, a série converge se L<1, isto é |x-2|<1. Portanto, o raio de convergência é R=1.

Passo 5

O intervalo interior de convergência é 2-1, ou seja 1.

Passo 6

Precisamos checar agora os extremos: Para x=3 temos x-2=1 e a série vira
sumn=1^infty(n+1)^2n^3, cujo termo geral é assimptoticamente sim1/n, logo diverge (p-série com p=1).

Passo 7

Para x=1 temos x-2=-1 e a série fica
sumn=1^infty(-1)^n(n+1)^2n^3

Passo 8

O termo geral em módulo bn=(n+1)^2/n^3 tende a zero e é eventualmente decrescente, logo pela série alternante (critérios de Leibniz) converge condicionalmente. Concluímos então o intervalo completo de convergência.

Resposta

Raio de convergência R=1. Intervalo de convergência: [1,3), com convergência condicional em x=1 e divergência em x=3.

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