Pelo teste da razão, a série converge se L<1, isto é |x-2|<1. Portanto, o raio de convergência é R=1.
Passo 5
O intervalo interior de convergência é 2-1, ou seja 1.
Passo 6
Precisamos checar agora os extremos: Para x=3 temos x-2=1 e a série vira
sumn=1^infty(n+1)^2n^3, cujo termo geral é assimptoticamente sim1/n, logo diverge (p-série com p=1).
Passo 7
Para x=1 temos x-2=-1 e a série fica
sumn=1^infty(-1)^n(n+1)^2n^3
Passo 8
O termo geral em módulo bn=(n+1)^2/n^3 tende a zero e é eventualmente decrescente, logo pela série alternante (critérios de Leibniz) converge condicionalmente. Concluímos então o intervalo completo de convergência.
Resposta
Raio de convergência R=1. Intervalo de convergência: [1,3), com convergência condicional em x=1 e divergência em x=3.