Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty ln ne^n(x-e)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty ln ne^n(x-e)^n
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo envolve uma potência de (x - a), sendo a o centro da série. Para descobrir onde a série converge, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência R.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série sum an (x - a)^n, o raio de convergência R é dado por:
R = limn to infty | anan+1 |
Ou, alternativamente:
1R = limn to infty | an+1an |
Vamos aplicar esse teste à nossa série.

Passo 3

Identificamos que an = ln ne^n. Então, calculamos a razão an+1an:
an+1an = ln(n+1)e^n+1ln ne^n = ln(n+1)ln n cdot e^ne^n+1 = ln(n+1)ln n cdot 1e
Agora, vamos analisar o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty an+1an = limn to infty ln(n+1)ln n cdot 1e = 1e cdot limn to infty ln(n+1)ln n
Sabemos que ln(n+1) sim ln n quando n cresce, então:
limn to infty ln(n+1)ln n = 1
Portanto,
limn to infty an+1an = 1e

Passo 4

Agora que temos o limite, podemos encontrar o raio de convergência R:
1R = 1e implies R = e
Isso significa que a série converge para valores de x que satisfazem |x - e| < e.

Passo 5

Vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que |x - e| < e, então:
-e < x - e < e implies 0 < x < 2e
Mas precisamos verificar se a série converge nos extremos x = 0 e x = 2e.

Passo 6

Primeiro, vamos verificar em x = 0:
|0 - e| = e implies Limite na fronteira
Substituindo na série:
sumn=1^infty ln ne^n(0 - e)^n = sumn=1^infty ln ne^n(-e)^n = sumn=1^infty ln n cdot (-1)^n
Essa é uma série alternada. Usando o Teste da Alternância, verificamos se ln n tende a zero e se é decrescente. Como ln n aumenta sem limite, a série não converge em x = 0.

Passo 7

Agora, vamos verificar em x = 2e:
|2e - e| = e implies Limite na fronteira
Substituindo na série:
sumn=1^infty ln ne^n(2e - e)^n = sumn=1^infty ln ne^n(e)^n = sumn=1^infty ln n
Essa é uma série que soma ln n indefinidamente, o que diverge. Então, a série não converge em x = 2e.

Resposta

O raio de convergência da série é R = e e o intervalo de convergência é 0 < x < 2e.

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