Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo envolve uma potência de , sendo o centro da série. Para descobrir onde a série converge, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , o raio de convergência é dado por:
Ou, alternativamente:
1R = limn to infty | an+1an |
Vamos aplicar esse teste à nossa série.
Passo 3
Identificamos que an = ln ne^n. Então, calculamos a razão an+1an:
an+1an = ln(n+1)e^n+1ln ne^n = ln(n+1)ln n cdot e^ne^n+1 = ln(n+1)ln n cdot 1e
Agora, vamos analisar o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty an+1an = limn to infty ln(n+1)ln n cdot 1e = 1e cdot limn to infty ln(n+1)ln n
Sabemos que ln(n+1) sim ln n quando n cresce, então:
limn to infty ln(n+1)ln n = 1
Portanto,
limn to infty an+1an = 1e
Passo 4
Agora que temos o limite, podemos encontrar o raio de convergênciaR:
1R = 1e implies R = e
Isso significa que a série converge para valores de x que satisfazem |x - e| < e.
Passo 5
Vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que |x - e| < e, então:
-e < x - e < e implies 0 < x < 2e
Mas precisamos verificar se a série converge nos extremos x = 0 e x = 2e.
Essa é uma série alternada. Usando o Teste da Alternância, verificamos se ln n tende a zero e se é decrescente. Como ln n aumenta sem limite, a série não converge em x = 0.