Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Toda sequência convergente é monótona.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação para analisar: “Toda sequência convergente é monótona.” Aqui, vamos trabalhar com conceitos de sequências numéricas, especificamente sobre convergência e monotonicidade. Nosso objetivo é decidir se essa afirmação é sempre verdadeira ou se pode ser falsa em alguns casos, e vamos justificar isso com um exemplo ou argumento lógico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima cada vez mais de um certo número, chamado de limite, conforme avançamos nos termos da sequência. Por exemplo, a sequência $ \frac{1}{n} $ converge para 0 quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona se ela está sempre crescente ou sempre decrescente. Ou seja, cada termo é maior ou igual (monótona crescente) ou menor ou igual (monótona decrescente) que o anterior. Por exemplo, a sequência $ 2, 4, 6, 8, \dots $ é monótona crescente.

Passo 4

A afirmação que precisamos verificar diz que toda sequência que converge é necessariamente monótona. Para ver se isso é verdade sempre, ou se pode haver exceções, vamos tentar pensar em uma sequência que converge mas que não é nem sempre crescente nem sempre decrescente.

Passo 5

Vamos considerar a sequência alternada $ (-1)^n \cdot \frac{1}{n} $. Vamos analisar seus termos:
  • Quando $ n = 1 $: $ (-1)^1 \cdot \frac{1}{1} = -1 $
  • Quando $ n = 2 $: $ (-1)^2 \cdot \frac{1}{2} = 0.5 $
  • Quando $ n = 3 $: $ (-1)^3 \cdot \frac{1}{3} \approx -0.333 $
  • E assim por diante…
Essa sequência está alternando sinais, mas os valores estão se aproximando de 0. Então, ela converge para 0.

Passo 6

Observamos que a sequência $ (-1)^n \cdot \frac{1}{n} $ não é monótona, pois os termos não estão sempre aumentando ou sempre diminuindo; eles estão indo para cima e para baixo perto de 0. Portanto, temos uma sequência que converge, mas não é monótona.

Resposta

A afirmação é às vezes falsa. Por exemplo, a sequência $ (-1)^n \cdot \frac{1}{n} $ converge para 0, mas não é monótona.

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