Mostre que a sequência
é
) monótona,
) limitada e
) determine para qual valor real a sequência converge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que a sequência $ \left(\frac{5^{n}}{n!}\right) $ é:
i) Monótona,
ii) Limitada, e
iii) Convergente, determinando para qual valor real ela converge.
ii) Limitada, e
iii) Convergente, determinando para qual valor real ela converge.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona, limitada e convergente, além de usar um pouco de matemática envolvendo potências e fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a sequência é monótona, ou seja, se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo.
A sequência é dada por:
Para verificar se está aumentando ou diminuindo, vamos comparar o termo $ a_{n+1} $ com $ a_n $:
Agora, calculamos a razão entre $ a_{n+1} $ e $ a_n $:
Analisando essa razão:
- Se $ \frac{5}{n+1} > 1 $, então $ a_{n+1} > a_n $ (a sequência está crescendo).
- Se $ \frac{5}{n+1} < 1 $, então $ a_{n+1} < a_n $ (a sequência está decrescendo).
Resolvendo $ \frac{5}{n+1} > 1 $:
Portanto, para $ n < 4 $, a sequência está aumentando, e para $ n \geq 4 $, está diminuindo. Assim, a sequência é monótona a partir de $ n = 4 $.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que é maior ou menor que todos os seus termos.
Observando $ a_n = \frac{5^{n}}{n!} $, percebemos que, conforme $ n $ aumenta, o fatorial $ n! $ cresce muito mais rápido que $ 5^n $. Isso faz com que os termos da sequência diminuam após certo ponto.
Além disso, sabemos que $ a_n > 0 $ para todo $ n $, então a sequência está sempre acima de zero. Já que os termos eventualmente diminuem e permanecem positivos, podemos dizer que a sequência é limitada superiormente por algum número finito e inferiormente por zero.
Passo 4
Por último, vamos determinar para qual valor real a sequência converge.
Sabemos que, à medida que $ n $ cresce, $ n! $ cresce muito mais rápido que $ 5^n $, então:
Isso significa que, à medida que $ n $ se aproxima do infinito, os termos da sequência se aproximam de zero.
Resposta
A sequência $ \left(\frac{5^{n}}{n!}\right) $ é monótona a partir de $ n = 4 $, está limitada, e converge para o valor real $ 0 $.