Mostre que a sequência (5^nn!) é i ) monótona, i i ) limitada e i i i ) determine para qual valor real a sequência converge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que a sequência $ \left(\frac{5^{n}}{n!}\right) $ é:
i) Monótona,
ii) Limitada, e
iii) Convergente, determinando para qual valor real ela converge.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona, limitada e convergente, além de usar um pouco de matemática envolvendo potências e fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a sequência é monótona, ou seja, se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo.
A sequência é dada por:
an = 5^nn!
Para verificar se está aumentando ou diminuindo, vamos comparar o termo $ a_{n+1} $ com $ a_n $:
an+1
Agora, calculamos a razão entre $ a_{n+1} $ e $ a_n $:
an
Analisando essa razão:
  • Se $ \frac{5}{n+1} > 1 $, então $ a_{n+1} > a_n $ (a sequência está crescendo).
  • Se $ \frac{5}{n+1} < 1 $, então $ a_{n+1} < a_n $ (a sequência está decrescendo).
Resolvendo $ \frac{5}{n+1} > 1 $:
an+1 = 5^n+1(n+1)! = 5 cdot 5^n(n+1) cdot n! = 5n+1 cdot an
Portanto, para $ n < 4 $, a sequência está aumentando, e para $ n \geq 4 $, está diminuindo. Assim, a sequência é monótona a partir de $ n = 4 $.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que é maior ou menor que todos os seus termos.
Observando $ a_n = \frac{5^{n}}{n!} $, percebemos que, conforme $ n $ aumenta, o fatorial $ n! $ cresce muito mais rápido que $ 5^n $. Isso faz com que os termos da sequência diminuam após certo ponto.
Além disso, sabemos que $ a_n > 0 $ para todo $ n $, então a sequência está sempre acima de zero. Já que os termos eventualmente diminuem e permanecem positivos, podemos dizer que a sequência é limitada superiormente por algum número finito e inferiormente por zero.

Passo 4

Por último, vamos determinar para qual valor real a sequência converge.
Sabemos que, à medida que $ n $ cresce, $ n! $ cresce muito mais rápido que $ 5^n $, então:
n
Isso significa que, à medida que $ n $ se aproxima do infinito, os termos da sequência se aproximam de zero.

Resposta

A sequência $ \left(\frac{5^{n}}{n!}\right) $ é monótona a partir de $ n = 4 $, está limitada, e converge para o valor real $ 0 $.

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