Encontre os extremantes da função objetivo f no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houver, os extremantes de f em R^2.
f(x, y, z)=2 x+y-2 z, sujeita à x^2+y^2+z^2=4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremantes da função objetivo f(x,y,z)=2x+y-2z sujeitos à restrição x^2+y^2+z^2=4. O tema aqui é otimização com multiplicadores de Lagrange: vamos precisar do gradiente de f, do gradiente da restrição g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 e do sistema nabla f=lambdanabla g.

Passo 2

Calculamos os gradientes:
nabla f=(2,,1,,-2), nabla g=(2x,,2y,,2z)

Passo 3

Aplicamos o método de Lagrange, montando o sistema:
2=2lambda x, 1=2lambda y, -2=2lambda z, x^2+y^2+z^2=4

Passo 4

Das três primeiras equações expressamos x,y,z em função de lambda:
x=1lambda, y=12lambda, z=-1lambda

Passo 5

Substituímos na restrição:
l(tfrac1lambdar)^2+l(tfrac12lambdar)^2+l(-tfrac1lambdar)^2=4Longrightarrow 1+tfrac14+1lambda^2=4 94lambda^2=4Longrightarrow lambda^2=916Rightarrow lambda=pm34

Passo 6

Para lambda=tfrac34 temos
x=tfrac1tfrac34=tfrac43, y=tfrac12cdottfrac34=tfrac23, z=-tfrac1tfrac34=-tfrac43
Para lambda=-tfrac34 temos
x=-tfrac43, y=-tfrac23, z=+tfrac43

Passo 7

Avaliamos f nesses pontos:
fl(tfrac43,tfrac23,-tfrac43r)=2cdottfrac43+tfrac23-2cdot(-tfrac43)=6,
fl(-tfrac43,-tfrac23,tfrac43r)=-6

Passo 8

Como f é linear em R^3 sem restrição, ela não atinge extremos globais (é não limitada).

Resposta

Máximo em (4/3,,2/3,,-4/3) com f=6. Mínimo em (-4/3,,-2/3,,4/3) com f=-6. Em R^3 sem restrição não há extremos.

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