Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n(x-2)^nn cdot 4^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em 2:
sumn=1^infty(-1)^n(x-2)^nncdot4^n
Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio R e depois testar os pontos x=2pm R para decidir a inclusão nos extremos.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, considere o termo geral
an = (-1)^n(x-2)^nn,4^n
Então
|an+1an| = l|x-2r|^,n+1(n+1)4^n+1cdotn,4^nl|x-2r|^n = l|x-2r|4,nn+1
Tomando o limite quando ntoinfty,
limntoinfty|an+1an| = l|x-2r|4

Passo 3

O teste da razão diz que a série converge se esse limite for menor que 1. Logo,
|x-2|4<1 Longrightarrow |x-2|<4
Portanto o raio de convergência é
R = 4

Passo 4

No extremo direito x=2+4=6, o termo geral fica
an = (-1)^n(6-2)^nn,4^n = (-1)^n,4^nn,4^n = (-1)^nn
Isso é a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n/n,
que converge condicionalmente pelo critério de Leibniz (os termos diminuem em módulo e tendem a zero).

Passo 5

No extremo esquerdo x=2-4=-2, o termo geral fica
an = (-1)^n(-2-2)^nn,4^n = (-1)^n(-4)^nn,4^n = 1n
Isso é a série harmônica sum 1/n, que diverge.

Passo 6

Reunindo:
  • Converge para lvert x-2rvert<4.
  • Converge condicionalmente em x=6.
  • Diverge em x=-2.

Resposta

Raio de convergência: R=4.
Intervalo de convergência: (-2,6].

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