Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em
:
Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio
e depois testar os pontos
para decidir a inclusão nos extremos.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, considere o termo geral
Então
Tomando o limite quando
ntoinfty ,
Passo 3
O teste da razão diz que a série converge se esse limite for menor que
1 . Logo,
Portanto o raio de convergência é
Passo 4
No extremo direito
x=2+4=6 , o termo geral fica
Isso é a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n/n ,
que converge condicionalmente pelo critério de Leibniz (os termos diminuem em módulo e tendem a zero).
que converge condicionalmente pelo critério de Leibniz (os termos diminuem em módulo e tendem a zero).
Passo 5
No extremo esquerdo
x=2-4=-2 , o termo geral fica
Isso é a série harmônica
sum 1/n , que diverge.
Passo 6
Reunindo:
- Converge para
.lvert x-2rvert<4 - Converge condicionalmente em
.x=6 - Diverge em
.x=-2
Resposta
Raio de convergência:
R=4 .
Intervalo de convergência:(-2,6] .
Intervalo de convergência: