Verifique se a sequencia
ln (1+1n)
é monótona e limitada. Esta sequencia é convergente? (Justifique a sua resposta).

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = ln!l(1 + 1nr),
para n>=1, e pede para verificar se ela é monótona e limitada, e se converge. Vamos usar a monotonicidade da função ln, propriedades de limites e o Teorema da Convergência Monótona.

Passo 2

Para ver se (an) é monótona, note que a função xmapstoln(x) é estritamente crescente em (0,infty). Como para todo n>=1 vale
1 + 1n+1 ;<; 1 + 1n,
aplicando ln obtemos
ln!l(1 + tfrac1n+1r) ;<; ln!l(1 + tfrac1nr),
ou seja, an+1<an. Logo, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 3

Para mostrar que (an) é limitada, observamos que para todo n>=1
1 < 1 + 1n <= 2,
logo
0 = ln(1) < ln!l(1 + tfrac1nr) <= ln(2)
Portanto, 0<an<=ln(2), ou seja, a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por ln(2).

Passo 4

Como (an) é decrescente e limitada inferiormente, pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge. Para achar o limite, usamos continuidade de ln:
limntoinftyan = limntoinftyln!l(1 + tfrac1nr) = ln!l(limntoinftyl(1 + tfrac1nr)r) = ln(1) = 0

Resposta

A sequência an = ln!l(1+tfrac1nr) é estritamente decrescente e limitada em 0<an<=ln2, logo converge, e
limntoinftyan = 0

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