Verifique se a sequencia
é monótona e limitada. Esta sequencia é convergente? (Justifique a sua resposta).
Passo 1
O enunciado define a sequência
para
, e pede para verificar se ela é monótona e limitada, e se converge. Vamos usar a monotonicidade da função
, propriedades de limites e o Teorema da Convergência Monótona.
Passo 2
Para ver se
é monótona, note que a função
é estritamente crescente em
. Como para todo
vale
aplicando
obtemos
ou seja,
. Logo, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 3
Para mostrar que
é limitada, observamos que para todo
logo
Portanto,
, ou seja, a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 4
Como
é decrescente e limitada inferiormente, pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge. Para achar o limite, usamos continuidade de
:
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente e limitada em
, logo converge, e