Sabendo-se que sen x=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}, para todo x \in \mathbb{R}, encontre a série de Maclaurin de f(x)=\operatorname{sen}^{2} x.
[Dica: Use derivação termo a termo e a relação \operatorname{sen}^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2}.]

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=\sin^2x. Temos disponível a série de Maclaurin de \sin x e a dica sugere usar derivação termo a termo junto com a identidade trigonométrica. Para resolver, vamos usar a relação
\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}
e a série de Maclaurin de \cos x, aplicando-a a 2x.

Passo 2

Recordando a série de Maclaurin de \cos x:
\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\,x^{2n}.
Para obter a de \cos2x, basta substituir x por 2x:
\cos2x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\,(2x)^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\,2^{2n}}{(2n)!}\,x^{2n}.

Passo 3

Agora, usando \sin^2x = \tfrac{1-\cos2x}{2}, temos
\sin^2x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos2x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\,2^{2n}}{(2n)!}\,x^{2n}.
O termo de índice n=0 em \cos2x é \frac{(-1)^0\,2^0}{0!}x^0=1, e \tfrac12 - \tfrac12\cdot1 = 0. Portanto só restam os termos com n\ge1.

Passo 4

Para n\ge1 extraímos o sinal e simplificamos:
\sin^2x = -\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\,2^{2n}}{(2n)!}\,x^{2n} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}\,x^{2n}.

Resposta

\boxed{ \sin^2x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}\,x^{2n} }

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