Encontre o polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de
da função
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de $ x_0 = 1 $ para a função $ f(x) = \frac{1}{x} $. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para construir esse polinômio passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto específico. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem $ n $ em torno de $ x_0 $ é:
Nesse caso, $ n = 4 $ e $ x_0 = 1 $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \frac{1}{x} $ até a quarta ordem e avaliá-las em $ x_0 = 1 $.
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Primeira derivada:Avaliando em $ x = 1 $:
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Segunda derivada:Avaliando em $ x = 1 $:
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Terceira derivada:Avaliando em $ x = 1 $:
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Quarta derivada:Avaliando em $ x = 1 $:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas avaliadas em $ x_0 = 1 $, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 4 usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de $ x_0 = 1 $ para a função $ \frac{1}{x} $ é: