Encontre o polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de x0=1 da função 1x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de $ x_0 = 1 $ para a função $ f(x) = \frac{1}{x} $. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para construir esse polinômio passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto específico. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem $ n $ em torno de $ x_0 $ é:
n
Nesse caso, $ n = 4 $ e $ x_0 = 1 $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \frac{1}{x} $ até a quarta ordem e avaliá-las em $ x_0 = 1 $.
  1. Primeira derivada:
    f(x) = 1x
    Avaliando em $ x = 1 $:
    x0 = 1
  2. Segunda derivada:
    f'(x) = -1x^2
    Avaliando em $ x = 1 $:
    x = 1
  3. Terceira derivada:
    f'(1) = -1
    Avaliando em $ x = 1 $:
    f''(x) = 2x^3
  4. Quarta derivada:
    x = 1
    Avaliando em $ x = 1 $:
    f''(1) = 2

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas avaliadas em $ x_0 = 1 $, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 4 usando a fórmula:
x0 = 1
Substituindo os valores:
P4(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + f''(1)2!(x - 1)^2 + f'''(1)3!(x - 1)^3 + f''''(1)4!(x - 1)^4
Simplificando:
P4(x) = 11 + (-1)(x - 1) + 22(x - 1)^2 + -66(x - 1)^3 + 2424(x - 1)^4

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de $ x_0 = 1 $ para a função $ \frac{1}{x} $ é:
x0 = 1

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