1. Usando a definição mostre que:
    (a) lim (x, y) (2,1)(3 x+2 y)=8
    (b) lim (x, y) (1,3)(2 x-4 y)=-10.

Passo 1

Estamos usando a definição formal de limite em duas variáveis: dado qualquer varepsilon>0, queremos achar de0 tal que, sempre que a distância raiz(x-a)^2+(y-b)^2, então |f(x,y)-L|. Aqui temos duas partes: em (a) f(x,y)=3x+2y, ponto (2,1) e L=8; em (b) f(x,y)=2x-4y, ponto (1,3) e L=-10. Vamos usar a desigualdade triangular e o fato de que |x-a| e |y-b| são menores que raiz(x-a)^2+(y-b)^2.

Passo 2

Para (a), seja varepsilon>0. Observe que
[ |3x+2y-8| = |3(x-2)+2(y-1)| \le 3|x-2| + 2|y-1| ],
e como
[ |x-2| \le \sqrt{(x-2)2+(y-1)2}, \quad |y-1| \le \sqrt{(x-2)2+(y-1)2}, ],
segue que
[ |3x+2y-8| \le 5\sqrt{(x-2)2+(y-1)2}. ].
Para garantir |3x+2y-8|, basta escolher
[ \delta = \frac{\varepsilon}{5}. ].
Pois então, sempre que raiz(x-2)^2+(y-1)^2, teremos |3x+2y-8|<5de, mostrando o limite.

Passo 3

Para (b), seja varepsilon>0. Fazemos a mesma conta:
[ |2x-4y+10| = |2(x-1)-4(y-3)| \le 2|x-1| + 4|y-3|, ],
com
[ |x-1| \le \sqrt{(x-1)2+(y-3)2}, \quad |y-3| \le \sqrt{(x-1)2+(y-3)2}, ],
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[ |2x-4y+10| \le 6\sqrt{(x-1)2+(y-3)2}. ].
Para ter |2x-4y+10|, basta tomar
[ \delta = \frac{\varepsilon}{6}. ].
Assim, sempre que raiz(x-1)^2+(y-3)^2, obtemos |2x-4y+10|<6de, concluindo a prova.

Resposta

Para (a) o limite é 8 e para (b) o limite é -10.

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