- Usando a definição mostre que:
(a)
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Estamos usando a definição formal de limite em duas variáveis: dado qualquer
, queremos achar
tal que, sempre que a distância
, então
. Aqui temos duas partes: em (a)
, ponto
e
; em (b)
, ponto
e
. Vamos usar a desigualdade triangular e o fato de que
e
são menores que
.
Passo 2
Para (a), seja
. Observe que
[ |3x+2y-8| = |3(x-2)+2(y-1)| \le 3|x-2| + 2|y-1| ],
e como
[ |x-2| \le \sqrt{(x-2)2+(y-1)2}, \quad |y-1| \le \sqrt{(x-2)2+(y-1)2}, ],
segue que
[ |3x+2y-8| \le 5\sqrt{(x-2)2+(y-1)2}. ].
Para garantir , basta escolher
[ \delta = \frac{\varepsilon}{5}. ].
Pois então, sempre que , teremos
, mostrando o limite.
[ |3x+2y-8| = |3(x-2)+2(y-1)| \le 3|x-2| + 2|y-1| ],
e como
[ |x-2| \le \sqrt{(x-2)2+(y-1)2}, \quad |y-1| \le \sqrt{(x-2)2+(y-1)2}, ],
segue que
[ |3x+2y-8| \le 5\sqrt{(x-2)2+(y-1)2}. ].
Para garantir
[ \delta = \frac{\varepsilon}{5}. ].
Pois então, sempre que
Passo 3
Para (b), seja
. Fazemos a mesma conta:
[ |2x-4y+10| = |2(x-1)-4(y-3)| \le 2|x-1| + 4|y-3|, ],
com
[ |x-1| \le \sqrt{(x-1)2+(y-3)2}, \quad |y-3| \le \sqrt{(x-1)2+(y-3)2}, ],
logo
[ |2x-4y+10| \le 6\sqrt{(x-1)2+(y-3)2}. ].
Para ter , basta tomar
[ \delta = \frac{\varepsilon}{6}. ].
Assim, sempre que , obtemos
, concluindo a prova.
[ |2x-4y+10| = |2(x-1)-4(y-3)| \le 2|x-1| + 4|y-3|, ],
com
[ |x-1| \le \sqrt{(x-1)2+(y-3)2}, \quad |y-3| \le \sqrt{(x-1)2+(y-3)2}, ],
logo
[ |2x-4y+10| \le 6\sqrt{(x-1)2+(y-3)2}. ].
Para ter
[ \delta = \frac{\varepsilon}{6}. ].
Assim, sempre que
Resposta
Para (a) o limite é
e para (b) o limite é
.