1. Represente geometricamente as superfícies de equações:
    (a) x^2+y^2+z^2=25;
    (b) x^2+y^2-z^2=25;
    © 9 x+4 y+12 z=36;
    (d) z^2-x^2-y^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é representar geometricamente quatro superfícies diferentes a partir das equações que você me deu. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica no espaço 3D, como esferas, planos, cones e hiperboloides. Vou te ajudar a entender cada uma dessas superfícies e como elas se parecem no espaço.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação:
(a)
Essa é a equação padrão de uma esfera. A fórmula geral de uma esfera é , onde é o centro da esfera e é o raio.
No nosso caso, temos:
  • Centro: (porque não há termos lineares de , ou )
  • Raio:
Então, essa equação representa uma esfera com centro na origem e raio 5.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda equação:
(b)
Essa equação se parece com a de um hiperboloide. A forma geral de um hiperboloide de uma folha é .
Para adaptar ao nosso caso, podemos reescrever a equação como .
Isso mostra que:
Portanto, essa equação representa um hiperboloide de uma folha centrado na origem.

Passo 4

Vamos para a terceira equação:
©
Essa é a equação de um plano. A forma geral de um plano é , onde , , e são os coeficientes que determinam a inclinação do plano, e é o termo constante.
No nosso caso:
  • Coeficientes: , ,
  • Termo constante:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Isso não muda a natureza da superfície, apenas a simplifica.
Então, essa equação representa um plano inclinado no espaço.

Passo 5

Por último, temos a quarta equação:
(d)
Vamos reescrever essa equação para facilitar a identificação:
Essa é a equação de um cone duplo. A forma geral de um cone duplo é , onde o cone tem seu vértice na origem e abre-se ao longo dos eixos.
Portanto, essa equação representa um cone duplo com vértice na origem.

Resposta

As superfícies geométricas representadas pelas equações são:
a) Uma esfera com centro na origem e raio 5.
b) Um hiperboloide de uma folha centrado na origem.
c) Um plano inclinado no espaço.
d) Um cone duplo com vértice na origem.

Exercícios relacionados