Usando o critério de convergência adequado, diga se cada série converge ou diverge: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n \cdot 2^{n}}{(n+1)!}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n\cdot 2^{n}}{(n+1)!}
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais:
O termo geral é \displaystyle a_{n}=\frac{n\cdot 2^{n}}{(n+1)!}.
Os termos são não negativos para todo n\ge0 (logo podemos tratar de convergência absoluta e de convergência simples de forma equivalente).
A pergunta é apenas: converge ou diverge?
Passo 2
Escolha do critério de convergência. Justificativa:
Quando aparecem fatoriais ((n+1)!) e potências (2^{n}), o Critério da Razão (ou Teste da Razão) costuma ser o mais direto e prático — ele lida bem com fatoriais e potências. Vou usar esse critério porque simplifica muito os cancelamentos e leva a um limite fácil de calcular.
Passo 3
Enunciado do Critério da Razão (explicação didática):
Seja \displaystyle a_n o termo geral de uma série de termos reais. Definimos
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui a_n é o termo geral, e usamos o limite das razões entre termos consecutivos para avaliar a “velocidade” com que os termos caem.
Passo 4
Calcular explicitamente a razão \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}. Primeiro escrevo a_n e a_{n+1}:
Como \displaystyle\frac{n}{n+1}\le 1 para todo n, temos
\frac{n\cdot 2^{n}}{(n+1)!}\le \frac{2^{n}}{n!}.
A série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} é a série de Taylor de e^{2} (ou seja, converge), portanto pela comparação a nossa série também converge. Isso confirma o resultado obtido pelo Critério da Razão.
Passo 7
Conclusão prática para a prova (dica amiga): quando ver fatoriais junto com potências, o Critério da Razão costuma ser a escolha mais direta — faça o quociente, cancele fatoriais e potências, e avalie o limite. Se der um número menor que 1, está tudo certo: converge absolutamente.