Usando o critério de convergência adequado, diga se cada série converge ou diverge:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n \cdot 2^{n}}{(n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n\cdot 2^{n}}{(n+1)!}
converge ou diverge. Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral é \displaystyle a_{n}=\frac{n\cdot 2^{n}}{(n+1)!}.
  • Os termos são não negativos para todo n\ge0 (logo podemos tratar de convergência absoluta e de convergência simples de forma equivalente).
  • A pergunta é apenas: converge ou diverge?

Passo 2

Escolha do critério de convergência. Justificativa:
  • Quando aparecem fatoriais ( (n+1)!) e potências ( 2^{n}), o Critério da Razão (ou Teste da Razão) costuma ser o mais direto e prático — ele lida bem com fatoriais e potências. Vou usar esse critério porque simplifica muito os cancelamentos e leva a um limite fácil de calcular.

Passo 3

Enunciado do Critério da Razão (explicação didática):
  • Seja \displaystyle a_n o termo geral de uma série de termos reais. Definimos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui a_n é o termo geral, e usamos o limite das razões entre termos consecutivos para avaliar a “velocidade” com que os termos caem.

Passo 4

Calcular explicitamente a razão \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}. Primeiro escrevo a_n e a_{n+1}:
a_n=\frac{n\cdot 2^{n}}{(n+1)!},\qquad a_{n+1}=\frac{(n+1)\cdot 2^{\,n+1}}{(n+2)!}.
Formo a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)\,2^{\,n+1}}{(n+2)!}}{\dfrac{n\,2^{n}}{(n+1)!}} = \frac{(n+1)\,2^{\,n+1}}{(n+2)!}\cdot\frac{(n+1)!}{n\,2^{n}}.
Agora simplifico passo a passo:
  • 2^{\,n+1}/2^{n}=2.
  • (n+2)!=(n+2)(n+1)!, então \dfrac{(n+1)!}{(n+2)!}=\dfrac{1}{n+2}.
    Substituindo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =2\cdot\frac{n+1}{n}\cdot\frac{(n+1)!}{(n+2)!} =2\cdot\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{n+2}.
Agrupando termos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =2\cdot\frac{n+1}{n(n+2)} = \frac{2(n+1)}{n(n+2)}.

Passo 5

Calcular o limite da razão quando n\to\infty. Tomo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2(n+1)}{n(n+2)}.
Posso dividir numerador e denominador por n^{2} (ou observar comportamento assintótico): escrevendo
\frac{2(n+1)}{n(n+2)}=\frac{2\big(1+\tfrac{1}{n}\big)}{n\big(1+\tfrac{2}{n}\big)}=\frac{2\big(1+\tfrac{1}{n}\big)}{n+\!2},
fica claro que o numerador tende a 2 e o denominador cresce como n, logo o quociente tende a 0. Formalmente,
L=0.
Como L<1, pelo Critério da Razão a série converge absolutamente. Como todos os termos são não negativos, isso implica que a série converge.

Passo 6

Observação alternativa (útil para fixar a intuição): escrever o termo como uma pequena modificação da série exponencial.
\frac{n\cdot 2^{n}}{(n+1)!} =\frac{2^{n}}{n!}\cdot\frac{n}{n+1}.
Como \displaystyle\frac{n}{n+1}\le 1 para todo n, temos
\frac{n\cdot 2^{n}}{(n+1)!}\le \frac{2^{n}}{n!}.
A série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} é a série de Taylor de e^{2} (ou seja, converge), portanto pela comparação a nossa série também converge. Isso confirma o resultado obtido pelo Critério da Razão.

Passo 7

Conclusão prática para a prova (dica amiga): quando ver fatoriais junto com potências, o Critério da Razão costuma ser a escolha mais direta — faça o quociente, cancele fatoriais e potências, e avalie o limite. Se der um número menor que 1, está tudo certo: converge absolutamente.

Resposta

Converge (convergência absoluta).

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