Resolva o sistema abaixo calculando 4 passos do método de Gauss-Jacobi a partir de x^{(0)}=(0,0,0). Verifique que o método converge pelo critério das linhas ou colunas.
Pede-se: calcular 4 passos (iterações) do método de Gauss–Jacobi a partir de x^{(0)}=(0,0,0).
Pede-se também verificar que o método converge pelo critério das linhas ou colunas (ou seja, verificar dominância diagonal por linhas ou por colunas).
Vou obedecer exatamente isso: primeiro derivar as fórmulas de iteração de Jacobi, verificar o critério de convergência e então calcular as 4 iterações com todas as contas detalhadas.]
Passo 2
O que é o método de Gauss–Jacobi (explicação didática) e fórmula aplicada ao sistema.
Ideia rápida: em Jacobi cada componente x_i^{(k+1)} é calculado isolando x_i na i-ésima equação e usando somente os valores da iteração anterior x^{(k)} para as outras incógnitas. Ou seja, todas as componentes do novo vetor usam apenas o vetor antigo (atualização simultânea).
Escrevendo cada equação isolando a incógnita da diagonal:
Critério das linhas (suficiente para convergência de Jacobi): a matriz deve ser estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para cada linha i vale |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Verifico linha a linha:
Linha 1: |a_{11}|=|10|=10 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|1|+|1|=2. Então 10>2 (estrita).
Linha 2: |a_{22}|=|5|=5 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|{-1}|+|{-1}|=2. Então 5>2 (estrita).
Linha 3: |a_{33}|=|{-10}|=10 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|4|+|{-2}|=6. Então 10>6 (estrita).
Como todas as linhas são estritamente diagonalmente dominantes, o critério das linhas está satisfeito e, portanto, o método de Jacobi converge para a solução do sistema a partir de qualquer inicial (em particular do x^{(0)}=(0,0,0)).]
Passo 4
Preparação para as iterações: ponto inicial e fórmula pronta.
Ponto inicial dado: x^{(0)}=(0,0,0).
Vou aplicar as fórmulas do Passo 2 quatro vezes, lembrando que em Jacobi todas as componentes de x^{(k+1)} usam apenas componentes de x^{(k)}.
x^{(1)}=\bigl(1{,}5,\;1{,}2,\;3\bigr) x^{(2)}=\bigl(1{,}08,\;2{,}1,\;3{,}36\bigr) x^{(3)}=\bigl(0{,}954,\;2{,}088,\;3{,}012\bigr) x^{(4)}=\bigl(0{,}99,\;1{,}9932,\;2{,}964\bigr)
O método converge, pois a matriz de coeficientes é estritamente diagonalmente dominante por linhas (cada |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|).