Resolva o sistema abaixo calculando 4 passos do método de Gauss-Jacobi a partir de x^{(0)}=(0,0,0). Verifique que o método converge pelo critério das linhas ou colunas.
\left\{\begin{array}{rr} 10 x_{1}+x_{2}+x_{3}= & 15 \\\\ -x_{1}+5 x_{2}-x_{3}= & 6 \\\\ 4 x_{1}-2 x_{2}-10 x_{3}= & -30 \end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Temos o sistema linear
\begin{cases} 10x_{1}+x_{2}+x_{3}=15,\\[4pt] - x_{1}+5x_{2}-x_{3}=6,\\[4pt] 4x_{1}-2x_{2}-10x_{3}=-30. \end{cases}
  • Pede-se: calcular 4 passos (iterações) do método de Gauss–Jacobi a partir de x^{(0)}=(0,0,0).
  • Pede-se também verificar que o método converge pelo critério das linhas ou colunas (ou seja, verificar dominância diagonal por linhas ou por colunas).
Vou obedecer exatamente isso: primeiro derivar as fórmulas de iteração de Jacobi, verificar o critério de convergência e então calcular as 4 iterações com todas as contas detalhadas.]

Passo 2

O que é o método de Gauss–Jacobi (explicação didática) e fórmula aplicada ao sistema.
  • Ideia rápida: em Jacobi cada componente x_i^{(k+1)} é calculado isolando x_i na i-ésima equação e usando somente os valores da iteração anterior x^{(k)} para as outras incógnitas. Ou seja, todas as componentes do novo vetor usam apenas o vetor antigo (atualização simultânea).
  • Escrevendo cada equação isolando a incógnita da diagonal:
Da primeira equação:
10x_{1}+x_{2}+x_{3}=15 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{15-x_{2}-x_{3}}{10}.
Da segunda equação:
- x_{1}+5x_{2}-x_{3}=6 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{6+x_{1}+x_{3}}{5}.
Da terceira equação:
4x_{1}-2x_{2}-10x_{3}=-30 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{-30-4x_{1}+2x_{2}}{-10}.
Simplificando a terceira:
x_{3}=\frac{30+4x_{1}-2x_{2}}{10}=3+0{,}4x_{1}-0{,}2x_{2}.
  • Reescrevendo todas as fórmulas de iteração (cada x_i^{(k+1)} em função de x^{(k)}):
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)}&=1{,}5-0{,}1\,x_{2}^{(k)}-0{,}1\,x_{3}^{(k)},\\[4pt] x_{2}^{(k+1)}&=1{,}2+0{,}2\,x_{1}^{(k)}+0{,}2\,x_{3}^{(k)},\\[4pt] x_{3}^{(k+1)}&=3+0{,}4\,x_{1}^{(k)}-0{,}2\,x_{2}^{(k)}. \end{aligned}
Aqui expliquei o que cada símbolo significa:
  • x_i^{(k)} é a componente i do vetor solução na iteração k.
  • Os coeficientes (por exemplo 0{,}1) vêm de dividir o termo não-diagonal pelo coeficiente da diagonal naquela equação.]

Passo 3

Verificação do critério de convergência pelo critério das linhas (dominância diagonal por linhas).
  • Matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 10 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 5 & -1\\[4pt] 4 & -2 & -10 \end{pmatrix}.
  • Critério das linhas (suficiente para convergência de Jacobi): a matriz deve ser estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para cada linha i vale |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Verifico linha a linha:
  • Linha 1: |a_{11}|=|10|=10 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|1|+|1|=2. Então 10>2 (estrita).
  • Linha 2: |a_{22}|=|5|=5 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|{-1}|+|{-1}|=2. Então 5>2 (estrita).
  • Linha 3: |a_{33}|=|{-10}|=10 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|4|+|{-2}|=6. Então 10>6 (estrita).
Como todas as linhas são estritamente diagonalmente dominantes, o critério das linhas está satisfeito e, portanto, o método de Jacobi converge para a solução do sistema a partir de qualquer inicial (em particular do x^{(0)}=(0,0,0)).]

Passo 4

Preparação para as iterações: ponto inicial e fórmula pronta.
  • Ponto inicial dado: x^{(0)}=(0,0,0).
  • Vou aplicar as fórmulas do Passo 2 quatro vezes, lembrando que em Jacobi todas as componentes de x^{(k+1)} usam apenas componentes de x^{(k)}.

Passo 5

Cálculo da iteração 1: x^{(1)} (usar x^{(0)}).
Usando as fórmulas:
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=1{,}5-0{,}1\cdot x_{2}^{(0)}-0{,}1\cdot x_{3}^{(0)} =1{,}5-0{,}1\cdot 0-0{,}1\cdot 0=1{,}5,\\[4pt] x_{2}^{(1)}&=1{,}2+0{,}2\cdot x_{1}^{(0)}+0{,}2\cdot x_{3}^{(0)} =1{,}2+0{,}2\cdot 0+0{,}2\cdot 0=1{,}2,\\[4pt] x_{3}^{(1)}&=3+0{,}4\cdot x_{1}^{(0)}-0{,}2\cdot x_{2}^{(0)} =3+0{,}4\cdot 0-0{,}2\cdot 0=3. \end{aligned}
Portanto
x^{(1)}=\bigl(1{,}5,\;1{,}2,\;3\bigr).]

Passo 6

Cálculo da iteração 2: x^{(2)} (usar x^{(1)}).
Usando x^{(1)}=(1{,}5,\,1{,}2,\,3):
\begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=1{,}5-0{,}1\cdot 1{,}2-0{,}1\cdot 3 =1{,}5-0{,}12-0{,}3=1{,}08,\\[4pt] x_{2}^{(2)}&=1{,}2+0{,}2\cdot 1{,}5+0{,}2\cdot 3 =1{,}2+0{,}3+0{,}6=2{,}1,\\[4pt] x_{3}^{(2)}&=3+0{,}4\cdot 1{,}5-0{,}2\cdot 1{,}2 =3+0{,}6-0{,}24=3{,}36. \end{aligned}
Portanto
x^{(2)}=\bigl(1{,}08,\;2{,}1,\;3{,}36\bigr).]

Passo 7

Cálculo da iteração 3: x^{(3)} (usar x^{(2)}).
Usando x^{(2)}=(1{,}08,\,2{,}1,\,3{,}36):
\begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=1{,}5-0{,}1\cdot 2{,}1-0{,}1\cdot 3{,}36 =1{,}5-0{,}21-0{,}336=0{,}954,\\[4pt] x_{2}^{(3)}&=1{,}2+0{,}2\cdot 1{,}08+0{,}2\cdot 3{,}36 =1{,}2+0{,}216+0{,}672=2{,}088,\\[4pt] x_{3}^{(3)}&=3+0{,}4\cdot 1{,}08-0{,}2\cdot 2{,}1 =3+0{,}432-0{,}42=3{,}012. \end{aligned}
Portanto
x^{(3)}=\bigl(0{,}954,\;2{,}088,\;3{,}012\bigr).]

Passo 8

Cálculo da iteração 4: x^{(4)} (usar x^{(3)}).
Usando x^{(3)}=(0{,}954,\,2{,}088,\,3{,}012):
\begin{aligned} x_{1}^{(4)}&=1{,}5-0{,}1\cdot 2{,}088-0{,}1\cdot 3{,}012 =1{,}5-0{,}2088-0{,}3012=0{,}99,\\[4pt] x_{2}^{(4)}&=1{,}2+0{,}2\cdot 0{,}954+0{,}2\cdot 3{,}012 =1{,}2+0{,}1908+0{,}6024=1{,}9932,\\[4pt] x_{3}^{(4)}&=3+0{,}4\cdot 0{,}954-0{,}2\cdot 2{,}088 =3+0{,}3816-0{,}4176=2{,}964. \end{aligned}
Portanto
x^{(4)}=\bigl(0{,}99,\;1{,}9932,\;2{,}964\bigr).]

Resposta

x^{(1)}=\bigl(1{,}5,\;1{,}2,\;3\bigr)
x^{(2)}=\bigl(1{,}08,\;2{,}1,\;3{,}36\bigr)
x^{(3)}=\bigl(0{,}954,\;2{,}088,\;3{,}012\bigr)
x^{(4)}=\bigl(0{,}99,\;1{,}9932,\;2{,}964\bigr)
O método converge, pois a matriz de coeficientes é estritamente diagonalmente dominante por linhas (cada |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|).

Exercícios relacionados