Encontre a decomposição LU e use-a para calcular o determinante da matriz.
(b)
B=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\\\ -1 & -1 & -1 \\\\ 6 & -2 & -4 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a matriz
B=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\[4pt] -1 & -1 & -1 \\[4pt] 6 & -2 & -4 \end{pmatrix}.
As perguntas são:
  • Encontrar uma decomposição LU de B, isto é matrizes L (triangular inferior com 1 na diagonal) e U (triangular superior) tais que B=LU.
  • Usar essa decomposição para calcular \det(B).
Informações dadas: os elementos de B estão todos explícitos na matriz acima.]

Passo 2

O que é uma decomposição LU na prática e como vamos obtê‑la (resumo didático).
  • Queremos escrever B como B=LU, com L triangular inferior com diagonais iguais a 1 (isto facilita porque então \det(L)=1) e U triangular superior.
  • Um procedimento simples e direto é fazer eliminação de Gauss sem troca de linhas: ao eliminar os elementos abaixo do pivô usaremos multiplicadores
m_{ij}=\frac{a_{ij}}{a_{ii}},
onde a_{ii} é o pivô atual. Esses multiplicadores são exatamente os elementos de L nas posições abaixo da diagonal: L_{ij}=m_{ij} para i>j. As operações de linha transformam a matriz original em uma matriz triangular superior U.
  • Depois, \det(B)=\det(L)\det(U). Como L é unitária (diagonal de 1), \det(L)=1 e então \det(B) é o produto dos elementos da diagonal de U.
Vou aplicar esse método passo a passo, calculando cada multiplicador e cada nova linha explicitamente.

Passo 3

Primeiro passo da eliminação: usar o pivô \,a_{11}=2.
  • Calcula-se os multiplicadores para eliminar abaixo do pivô:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}, \qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{6}{2}=3.
  • Aplicam‑se as operações de linha (forma padrão: R_i \leftarrow R_i - m_{i1}R_1):
    • Para a linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1 = R_2 -\left(-\tfrac{1}{2}\right)R_1 = R_2 + \tfrac{1}{2}R_1.Calculando elemento a elemento: \begin{aligned} &\text{entrada (2,1): } -1 + \tfrac{1}{2}\cdot 2 = -1 +1 = 0,\\\ &\text{entrada (2,2): } -1 + \tfrac{1}{2}\cdot 1 = -1 + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2},\\\ &\text{entrada (2,3): } -1 + \tfrac{1}{2}\cdot 1 = -1 + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2}. \end{aligned}Logo a nova linha 2 é \bigl(0,\; -\tfrac{1}{2},\; -\tfrac{1}{2}\bigr).
    • Para a linha 3: R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1 = R_3 - 3R_1.Calculando: \begin{aligned} &\text{entrada (3,1): } 6 - 3\cdot 2 = 0,\\\ &\text{entrada (3,2): } -2 - 3\cdot 1 = -5,\\\ &\text{entrada (3,3): } -4 - 3\cdot 1 = -7. \end{aligned}Logo a nova linha 3 é \bigl(0,\; -5,\; -7\bigr).
Após esse passo, a matriz transformada (ainda em construção de U) é
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & -5 & -7 \end{pmatrix}.
E já conhecemos as entradas de L correspondentes a primeira coluna abaixo da diagonal: L_{21}=m_{21}=-\tfrac{1}{2}, L_{31}=m_{31}=3.]

Passo 4

Segundo passo da eliminação: usar o pivô a_{22}=-\tfrac{1}{2} na matriz atual.
  • Calcula-se o multiplicador para eliminar o elemento a_{32}:
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{-5}{-\tfrac{1}{2}} = (-5)\cdot\left(-2\right)=10.
  • Aplica‑se a operação de linha correspondente: R_3 \leftarrow R_3 - m_{32}R_2 = R_3 - 10R_2.Calculando elemento a elemento (note que R_2=(0,-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2})): \begin{aligned} &\text{entrada (3,1): } 0 - 10\cdot 0 = 0,\\\ &\text{entrada (3,2): } -5 - 10\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -5 +5 = 0,\\\ &\text{entrada (3,3): } -7 - 10\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -7 +5 = -2. \end{aligned}Assim a nova linha 3 é \bigl(0,\;0,\; -2\bigr).
Agora a matriz triangular superior U obtida é
U=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
E o multiplicador calculado dá a entrada L_{32}=m_{32}=10.]

Passo 5

Montagem da matriz L.
  • Lembre que L é unitária (1 na diagonal) e as entradas abaixo da diagonal são exatamente os multiplicadores usados nas eliminações:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] m_{21} & 1 & 0\\[4pt] m_{31} & m_{32} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] 3 & 10 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): multiplicando L por U deve voltar B. Essa propriedade é garantida pelo processo de eliminação que usamos (cada eliminação corresponde a multiplicar por uma matriz elementar cuja inversa vai compondo L). Não é necessário repetir a multiplicação completa aqui para obter a resposta, mas é possível verificar termo a termo se desejado.]

Passo 6

Cálculo do determinante usando LU.
  • Como B=LU e \det(B)=\det(L)\det(U).
  • Para matriz triangular com 1 na diagonal, \det(L)=1.
  • Portanto \det(B)=\det(U), que é o produto dos elementos da diagonal de U:
\det(B)=\bigl(2\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\cdot\bigl(-2\bigr).
  • Calculando: 2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-1 e (-1)\cdot(-2)=2. Logo
\det(B)=2.

Resposta

L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 & 0 \\[4pt] 3 & 10 & 1\end{pmatrix}, \qquad
U=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \\[4pt] 0 & 0 & -2\end{pmatrix}
\det(B)=2]

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