Encontrar uma decomposição LU de B, isto é matrizes L (triangular inferior com 1 na diagonal) e U (triangular superior) tais que B=LU.
Usar essa decomposição para calcular \det(B).
Informações dadas: os elementos de B estão todos explícitos na matriz acima.]
Passo 2
O que é uma decomposição LU na prática e como vamos obtê‑la (resumo didático).
Queremos escrever B como B=LU, com L triangular inferior com diagonais iguais a 1 (isto facilita porque então \det(L)=1) e U triangular superior.
Um procedimento simples e direto é fazer eliminação de Gauss sem troca de linhas: ao eliminar os elementos abaixo do pivô usaremos multiplicadores
m_{ij}=\frac{a_{ij}}{a_{ii}},
onde a_{ii} é o pivô atual. Esses multiplicadores são exatamente os elementos de L nas posições abaixo da diagonal: L_{ij}=m_{ij} para i>j. As operações de linha transformam a matriz original em uma matriz triangular superior U.
Depois, \det(B)=\det(L)\det(U). Como L é unitária (diagonal de 1), \det(L)=1 e então \det(B) é o produto dos elementos da diagonal de U.
Vou aplicar esse método passo a passo, calculando cada multiplicador e cada nova linha explicitamente.
Passo 3
Primeiro passo da eliminação: usar o pivô \,a_{11}=2.
Calcula-se os multiplicadores para eliminar abaixo do pivô:
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): multiplicando L por U deve voltar B. Essa propriedade é garantida pelo processo de eliminação que usamos (cada eliminação corresponde a multiplicar por uma matriz elementar cuja inversa vai compondo L). Não é necessário repetir a multiplicação completa aqui para obter a resposta, mas é possível verificar termo a termo se desejado.]
Passo 6
Cálculo do determinante usando LU.
Como B=LU e \det(B)=\det(L)\det(U).
Para matriz triangular com 1 na diagonal, \det(L)=1.
Portanto \det(B)=\det(U), que é o produto dos elementos da diagonal de U: