Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
Isso cai em séries de potências centradas em
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão. Chamando
calculamos
$$
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x+4){n+1}}{a_n(x+4)n}\right|
=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{|x+4|}{2}
=\frac{|x+4|}{2}.
=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{|x+4|}{2}
=\frac{|x+4|}{2}.
$$
Para convergir precisamos de , ou seja
.
Para convergir precisamos de
Passo 3
Da condição
obtemos o raio de convergência
e o intervalo central aberto
Passo 4
Testamos agora
. Nesse caso
e a série vira
que é a série harmônica (diverge). Então
fica fora do intervalo.
Passo 5
Testamos
. Aqui
e a série fica
$$\sum_{n=0}\infty\frac{(-1)n}{(n+1)2n}2n
=\sum_{n=0}\infty\frac{(-1)n}{n+1},$$
que é a série alternada de termos decrescentes em módulo com limite zero, portanto converge (condicionalmente). Logo entra no intervalo.
que é a série alternada de termos decrescentes em módulo com limite zero, portanto converge (condicionalmente). Logo
Resposta
O raio de convergência é R=2 e o intervalo de convergência é (-6,,-2].