Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
sumn=0^infty (-1)^n(n+1) 2^n(x+4)^n

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-1)^n(n+1)2^n(x+4)^n
Isso cai em séries de potências centradas em x0=-4, e vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois testar os extremos.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Chamando
an=(-1)^n(n+1)2^n,
calculamos
$$
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x+4){n+1}}{a_n(x+4)n}\right|
=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{|x+4|}{2}
=\frac{|x+4|}{2}.
$$
Para convergir precisamos de L=limntoinfty|an+1(x+4)^n+1an(x+4)^n| =limntoinftyn+1n+2cdot|x+4|2 =|x+4|2 , ou seja L<1.

Passo 3

Da condição |x+4|<2 obtemos o raio de convergência
R=2,
e o intervalo central aberto
-6,-2.

Passo 4

Testamos agora x=-6. Nesse caso x+4=-2 e a série vira
sumn=0^infty(-1)^n(n+1)2^n(-2)^n =sumn=0^infty2^n(n+1)2^n =sumn=0^infty1n+1,
que é a série harmônica (diverge). Então x=-6 fica fora do intervalo.

Passo 5

Testamos x=-2. Aqui x+4=2 e a série fica
$$\sum_{n=0}\infty\frac{(-1)n}{(n+1)2n}2n
=\sum_{n=0}\infty\frac{(-1)n}{n+1},$$
que é a série alternada de termos decrescentes em módulo com limite zero, portanto converge (condicionalmente). Logo sumn=0^infty(-1)^n(n+1)2^n2^n =sumn=0^infty(-1)^nn+1, entra no intervalo.

Resposta

O raio de convergência é R=2 e o intervalo de convergência é (-6,,-2].

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