- Determine o Raio de Convergencia e o Intervalo de Convergencia, das series usando o Teste da Raiz provar se converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
, usando o Teste da Raiz para provar quando converge ou diverge.
Informações dadas: a série é uma série de potências centrada em com termo geral
.
Informações dadas: a série é uma série de potências centrada em
Passo 2
Vou relembrar o Teste da Raiz (de forma prática). Para uma série de termos
, define-se
- Se
então a série converge absolutamente. - Se
então a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo.
No caso de séries de potências da forma
, isso dá a fórmula prática do raio de convergência:
isto é, dentro de
a série converge absolutamente e fora diverge. Vou aplicar isso ao nosso termo geral.
Passo 3
Escrevo o termo geral e calculo a raiz enésima do valor absoluto:
Agora separo fatores:
Passo 4
Preciso do limite quando
de
. Uma forma simples de ver isso é tomar logaritmo:
Como
(porque
cresce muito mais devagar que
), segue que
Passo 5
Pela Passo 3 e Passo 4 obtemos
Aplicando o Teste da Raiz: a série converge absolutamente se
, diverge se
, e o caso
é inconclusivo pelo teste. Portanto o raio de convergência é
Passo 6
Da condição
temos o intervalo aberto de convergência inicial (centro
):
Agora precisamos testar explicitamente os pontos finais
e
porque o Teste da Raiz foi inconclusivo em
.
Passo 7
Teste do ponto
. Substituindo em
obtemos
logo a série em
é
, que é a série harmônica. É clássico e fácil de justificar que a série harmônica diverge (por exemplo pelo Teste da Integral:
diverge, então
diverge). Conclusão: em
a série diverge.
Passo 8
Teste do ponto
. Substituindo:
A série fica
. Esta é a série harmônica alternada (também chamada de série alternante de termos
). Podemos aplicar o Teste da Série Alternada (Leibniz): se
é uma sequência positiva, decrescente e com
, então
converge. Aqui
é positiva, decrescente e tende a
, portanto
converge. Observação importante: a convergência é condicional, porque a série dos valores absolutos
diverge (já visto no passo anterior). Então em
a série converge, mas não absolutamente.
Passo 9
Juntando tudo:
- raio de convergência
, - a série converge para
, ou seja no intervalo aberto , - em
converge condicionalmente, - em
diverge.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: