• Determine o Raio de Convergencia e o Intervalo de Convergencia, das series usando o Teste da Raiz provar se converge ou diverge.
    \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-5)^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-5)^{n}}{n}, usando o Teste da Raiz para provar quando converge ou diverge.
Informações dadas: a série é uma série de potências centrada em \,5 com termo geral \,a_n(x)=\dfrac{(x-5)^n}{n}.

Passo 2

Vou relembrar o Teste da Raiz (de forma prática). Para uma série de termos a_n, define-se
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se \,L<1 então a série converge absolutamente.
  • Se \,L>1 então a série diverge.
  • Se \,L=1 o teste é inconclusivo.
No caso de séries de potências da forma \sum c_n (x-x_0)^n, isso dá a fórmula prática do raio de convergência:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}},
isto é, dentro de |x-x_0|<R a série converge absolutamente e fora diverge. Vou aplicar isso ao nosso termo geral.

Passo 3

Escrevo o termo geral e calculo a raiz enésima do valor absoluto:
a_n(x)=\frac{(x-5)^n}{n}\quad\Rightarrow\quad \sqrt[n]{|a_n(x)|}=\sqrt[n]{\frac{|x-5|^n}{n}}.
Agora separo fatores:
\sqrt[n]{\frac{|x-5|^n}{n}}=\sqrt[n]{|x-5|^n}\cdot\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=|x-5|\cdot n^{-1/n}.

Passo 4

Preciso do limite quando n\to\infty de n^{-1/n}. Uma forma simples de ver isso é tomar logaritmo:
\ln\!\big(n^{-1/n}\big)=-\frac{\ln n}{n}.
Como \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0 (porque \ln n cresce muito mais devagar que n), segue que
\lim_{n\to\infty}\ln\!\big(n^{-1/n}\big)=0\quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty}n^{-1/n}=e^{0}=1.

Passo 5

Pela Passo 3 e Passo 4 obtemos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n(x)|}=|x-5|\cdot 1=|x-5|.
Aplicando o Teste da Raiz: a série converge absolutamente se |x-5|<1, diverge se |x-5|>1, e o caso |x-5|=1 é inconclusivo pelo teste. Portanto o raio de convergência é
R=1.

Passo 6

Da condição |x-5|<1 temos o intervalo aberto de convergência inicial (centro 5):
(5-1,\;5+1)=(4,\;6).
Agora precisamos testar explicitamente os pontos finais x=4 e x=6 porque o Teste da Raiz foi inconclusivo em |x-5|=1.

Passo 7

Teste do ponto x=6. Substituindo em \dfrac{(x-5)^n}{n} obtemos
\frac{(6-5)^n}{n}=\frac{1^n}{n}=\frac{1}{n},
logo a série em x=6 é \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}, que é a série harmônica. É clássico e fácil de justificar que a série harmônica diverge (por exemplo pelo Teste da Integral: \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx diverge, então \sum 1/n diverge). Conclusão: em x=6 a série diverge.

Passo 8

Teste do ponto x=4. Substituindo:
\frac{(4-5)^n}{n}=\frac{(-1)^n}{n}.
A série fica \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}. Esta é a série harmônica alternada (também chamada de série alternante de termos 1/n). Podemos aplicar o Teste da Série Alternada (Leibniz): se (b_n) é uma sequência positiva, decrescente e com \lim_{n\to\infty}b_n=0, então \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=1/n é positiva, decrescente e tende a 0, portanto \sum (-1)^n\frac{1}{n} converge. Observação importante: a convergência é condicional, porque a série dos valores absolutos \sum |(-1)^n/n|=\sum 1/n diverge (já visto no passo anterior). Então em x=4 a série converge, mas não absolutamente.

Passo 9

Juntando tudo:
  • raio de convergência R=1,
  • a série converge para |x-5|<1, ou seja no intervalo aberto (4,6),
  • em x=4 converge condicionalmente,
  • em x=6 diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: [4,6)

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