pois |(-1)^n|=1. Vou trabalhar com essa série de não-negativos.
Passo 3
Caso |x|<1: comparação com série geométrica.
Lembre que a série geométrica \sum_{n=1}^\infty r^n converge se |r|<1 e diverge se |r|\ge1. A soma da geométrica (quando converge) não é necessária aqui, só o fato de convergir.
Para |x|<1 temos, para todo n\ge1,
0\le \frac{|x|^n}{n^2}\le |x|^n,
porque n^2\ge 1. Pelo Teste de Comparação (se 0\le u_n\le v_n e \sum v_n converge então \sum u_n converge), concluímos que
\sum_{n=1}^\infty \frac{|x|^n}{n^2}
converge quando |x|<1. Assim, a série original converge absolutamente (e portanto converge) para todo |x|<1.
Passo 4
Caso |x|>1: os termos não tendem a zero (portanto a série diverge).
Para uma série \sum b_n convergir é necessário que b_n\to 0. Vou verificar o limite do termo geral em módulo:
logo a sequência cresce geometricamente a partir de algum ponto e não tende a zero (na verdade vai para \infty). Assim os termos não vão a zero, então a série diverge para todo |x|>1.
Passo 5
Conclusão parcial sobre o raio: a série converge para todo |x|<1 e diverge para todo |x|>1. Isso significa que o raio de convergência é
R=1.
Passo 6
Agora examino os endpoints |x|=1, isto é x=1 e x=-1.
Para x=1: o termo geral fica
\frac{(-1)^n 1^n}{n^2}=\frac{(-1)^n}{n^2}.
A série dos módulos é \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}, que é uma série p-com p=2>1 — conhecida por convergir. Pelo Teste de Comparação (compare com \frac{1}{n^2} trivially) ou pelo fato direto do p-series, a série converge absolutamente em x=1. Portanto x=1 pertence ao intervalo de convergência.