• Determine o Raio de Convergencia e o intervalo de Convergencia, usando o Teste de Comparacao.
    a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (\pi n) x^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determine o Raio de Convergência e o Intervalo de Convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(\pi n)\, x^{n}}{n^{2}}.
Informações dadas e pontos importantes que eu extraio do enunciado:
  • A série é uma série de potências em x com termo geral \displaystyle a_n(x)=\frac{\cos(\pi n)\, x^{n}}{n^{2}}.
  • Para inteiros n vale \cos(\pi n)=(-1)^n. Vou usar isso explicitamente.
  • O que preciso fornecer: o raio de convergência R e o intervalo (ou conjunto) de valores de x onde a série converge.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral usando \cos(\pi n)=(-1)^n:
a_n(x)=\frac{(-1)^n x^n}{n^2}.
Para estudar convergência via Teste de Comparação é natural analisar a série de valores absolutos (convergência absoluta):
\sum_{n=1}^\infty |a_n(x)|=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x|^n}{n^2},
pois |(-1)^n|=1. Vou trabalhar com essa série de não-negativos.

Passo 3

Caso |x|<1: comparação com série geométrica.
  • Lembre que a série geométrica \sum_{n=1}^\infty r^n converge se |r|<1 e diverge se |r|\ge1. A soma da geométrica (quando converge) não é necessária aqui, só o fato de convergir.
  • Para |x|<1 temos, para todo n\ge1,
0\le \frac{|x|^n}{n^2}\le |x|^n,
porque n^2\ge 1. Pelo Teste de Comparação (se 0\le u_n\le v_n e \sum v_n converge então \sum u_n converge), concluímos que
\sum_{n=1}^\infty \frac{|x|^n}{n^2}
converge quando |x|<1. Assim, a série original converge absolutamente (e portanto converge) para todo |x|<1.

Passo 4

Caso |x|>1: os termos não tendem a zero (portanto a série diverge).
  • Para uma série \sum b_n convergir é necessário que b_n\to 0. Vou verificar o limite do termo geral em módulo:
\left|\frac{(-1)^n x^n}{n^2}\right|=\frac{|x|^n}{n^2}.
  • Quando |x|>1 a sequência \displaystyle \frac{|x|^n}{n^2} tende a +\infty. Uma maneira de ver isso é observar a razão entre termos sucessivos:
\frac{\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{|x|^n}{n^2}}=|x|\cdot\frac{n^2}{(n+1)^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}|x|>1,
logo a sequência cresce geometricamente a partir de algum ponto e não tende a zero (na verdade vai para \infty). Assim os termos não vão a zero, então a série diverge para todo |x|>1.

Passo 5

Conclusão parcial sobre o raio: a série converge para todo |x|<1 e diverge para todo |x|>1. Isso significa que o raio de convergência é
R=1.

Passo 6

Agora examino os endpoints |x|=1, isto é x=1 e x=-1.
  • Para x=1: o termo geral fica
\frac{(-1)^n 1^n}{n^2}=\frac{(-1)^n}{n^2}.
A série dos módulos é \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}, que é uma série p-com p=2>1 — conhecida por convergir. Pelo Teste de Comparação (compare com \frac{1}{n^2} trivially) ou pelo fato direto do p-series, a série converge absolutamente em x=1. Portanto x=1 pertence ao intervalo de convergência.
  • Para x=-1: o termo geral fica
\frac{(-1)^n (-1)^n}{n^2}=\frac{(-1)^{2n}}{n^2}=\frac{1}{n^2}.
Então a série é exatamente \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}, que converge (novamente p=2). Logo x=-1 também pertence ao intervalo de convergência.

Passo 7

Juntando tudo:
  • converge para |x|<1,
  • diverge para |x|>1,
  • converge também em x=1 e em x=-1.
Portanto o raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é o intervalo fechado [-1,1].

Resposta

Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: [-1,1]

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