Escrever a formula mais simples do enésimo termo das seguintes series, de acordo com os termos indicados:
Passo 1
O enunciado pede: “Escrever a fórmula mais simples do enésimo termo” da sequência cujos primeiros termos são
.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
É disso que partimos para encontrar uma expressão que nos dê qualquer termo da sequência, indexado por .
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
É disso que partimos para encontrar uma expressão que nos dê qualquer termo da sequência, indexado por
Passo 2
Vamos indexar os termos de forma padrão, tomando
. Assim escrevemos os primeiros termos com seus índices:
Anotar isso ajuda a ver padrões em numerador e denominador separadamente.
Anotar isso ajuda a ver padrões em numerador e denominador separadamente.
Passo 3
Observe o numerador de cada termo:
. Esse é o padrão mais simples possível — o numerador do
-ésimo termo é exatamente
. Vou explicar por quê: o primeiro numerador é
(quando
), o segundo é
(quando
) e assim por diante; não há salto ou outro padrão, é simplesmente a posição.
Passo 4
Agora observe os denominadores:
. Esses números são potências de
. Escrevendo como potência:
Portanto o expoente cresce em . Para alinhar com
(onde o primeiro termo tem
), o expoente é
. Ou seja, no termo de posição
o denominador é
. Lembrete rápido:
,
,
, etc., então essa escolha de expoente bate com os denominadores dados.
Portanto o expoente cresce em
Passo 5
Juntando as observações: o numerador do termo
é
e o denominador do termo
é
. Assim, o
-ésimo termo é a razão entre esses dois elementos (numerador sobre denominador). Esse é o raciocínio que leva à fórmula geral da sequência.
Passo 6
Verificação rápida nos primeiros termos (substituindo o numerador e o denominador que identificamos):
Para : numerador
, denominador
, termo
(confere).
Para : numerador
, denominador
, termo
(confere).
Para : numerador
, denominador
, termo
(confere).
Para : numerador
, denominador
, termo
(confere).
As contas batem com os termos do enunciado, então a identificação está correta.
Para
Para
Para
Para
As contas batem com os termos do enunciado, então a identificação está correta.
Passo 7
Dica final para provar/aplicar isso rápido na prova: sempre separe numerador e denominador e busque sequências básicas conhecidas (como aritmética
ou potências
). Verifique o índice inicial (aqui começa em
), pois ele determina se o expoente será
ou
(ou outro deslocamento). Isso te salva bastante tempo e evita erros de deslocamento.