Escrever a formula mais simples do enésimo termo das seguintes series, de acordo com os termos indicados:
1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede: “Escrever a fórmula mais simples do enésimo termo” da sequência cujos primeiros termos são 1,\\ \frac{2}{2},\\ \frac{3}{4},\\ \frac{4}{8},\\ \dots.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;1,\;\frac{2}{2},\;\frac{3}{4},\;\frac{4}{8},\dots
É disso que partimos para encontrar uma expressão que nos dê qualquer termo da sequência, indexado por n.

Passo 2

Vamos indexar os termos de forma padrão, tomando n=1,2,3,\dots. Assim escrevemos os primeiros termos com seus índices:
\;a_1=1,\qquad a_2=\frac{2}{2},\qquad a_3=\frac{3}{4},\qquad a_4=\frac{4}{8}.
Anotar isso ajuda a ver padrões em numerador e denominador separadamente.

Passo 3

Observe o numerador de cada termo: 1,2,3,4,\dots. Esse é o padrão mais simples possível — o numerador do n-ésimo termo é exatamente n. Vou explicar por quê: o primeiro numerador é 1 (quando n=1), o segundo é 2 (quando n=2) e assim por diante; não há salto ou outro padrão, é simplesmente a posição.

Passo 4

Agora observe os denominadores: 1,2,4,8,\dots. Esses números são potências de 2. Escrevendo como potência:
\;1=2^0,\;2=2^1,\;4=2^2,\;8=2^3,\dots
Portanto o expoente cresce em 0,1,2,3,\dots. Para alinhar com n (onde o primeiro termo tem n=1), o expoente é n-1. Ou seja, no termo de posição n o denominador é 2^{\,n-1}. Lembrete rápido: 2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, etc., então essa escolha de expoente bate com os denominadores dados.

Passo 5

Juntando as observações: o numerador do termo n é n e o denominador do termo n é 2^{\,n-1}. Assim, o n-ésimo termo é a razão entre esses dois elementos (numerador sobre denominador). Esse é o raciocínio que leva à fórmula geral da sequência.

Passo 6

Verificação rápida nos primeiros termos (substituindo o numerador e o denominador que identificamos):
Para n=1: numerador =1, denominador =2^{0}=1, termo =1/1=1 (confere).
Para n=2: numerador =2, denominador =2^{1}=2, termo =2/2=\frac{2}{2} (confere).
Para n=3: numerador =3, denominador =2^{2}=4, termo =3/4 (confere).
Para n=4: numerador =4, denominador =2^{3}=8, termo =4/8 (confere).
As contas batem com os termos do enunciado, então a identificação está correta.

Passo 7

Dica final para provar/aplicar isso rápido na prova: sempre separe numerador e denominador e busque sequências básicas conhecidas (como aritmética 1,2,3,\dots ou potências 1,2,4,8,\dots). Verifique o índice inicial (aqui começa em n=1), pois ele determina se o expoente será n ou n-1 (ou outro deslocamento). Isso te salva bastante tempo e evita erros de deslocamento.

Resposta

a_n=\dfrac{n}{2^{\,n-1}}

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