• Determine o Raio de Convergencia e o Intervalo de Convergencia, das series usando o Teste da Raiz provar se converge ou diverge.
    \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}(x-1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o Raio de Convergência e o Intervalo de Convergência da série power series
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}(x-1)^{n}.
Informações relevantes dadas:
a_n=\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n
e a série está escrita na forma \sum_{n=1}^\infty a_n (x-1)^n, ou seja, é uma série de potências centrada em 1.
O que precisamos entregar:
  • o raio de convergência R;
  • o intervalo de convergência (em termos de x), verificando também os dois extremos x=-1 e x=3 (que correspondem a 1\pm R) e provar convergência ou divergência usando o Teste da Raiz quando for útil.

Passo 2

Explicação didática do método (Teste da Raiz aplicada a séries de potências):
  • Para uma série de potências \sum a_n (x-c)^n, aplicar o Teste da Raiz aos termos b_n=a_n (x-c)^n. O Teste da Raiz diz: calcule
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
  • No caso de série de potências,
\sqrt[n]{|b_n|}=\sqrt[n]{|a_n|}\,|x-c|.
Assim a condição \limsup \sqrt[n]{|a_n|}\,|x-c|<1 determina o intervalo de x onde a série converge absolutamente. Portanto o raio de convergência R é
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Vou usar essa fórmula: primeiro encontro \limsup \sqrt[n]{|a_n|}, depois R. Depois testarei os extremos x=c\pm R separadamente.

Passo 3

Cálculo de \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} para a_n=\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n.
Primeiro note que
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n}=\frac{n}{2n+1}.
Agora calcule o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+\tfrac{1}{n}}=\frac{1}{2}.
Como a sequência tem limite, o \limsup é esse limite, logo
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{2}.
Pelo passo anterior,
R=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.
Portanto o raio de convergência é \,R=2. A série converge absolutamente para |x-1|<2, isto é inicialmente no intervalo aberto (-1,3).

Passo 4

Teste no extremo x=-1 (que corresponde a x-1=-2):
Substituindo x=-1 os termos da série ficam
t_n=\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n(-2)^n=\left(-\frac{2n}{2n+1}\right)^n.
Analiso o valor absoluto:
|t_n|=\left(\frac{2n}{2n+1}\right)^n.
Para saber se a série converge, uma condição necessária é que os termos t_n tendam a zero. Vou calcular o limite de |t_n|. Escreva
\frac{2n}{2n+1}=1-\frac{1}{2n+1}.
Então
\ln|t_n|=n\ln\!\left(1-\frac{1}{2n+1}\right).
Usamos a expansão \ln(1+u)=u+o(u) quando u\to0. Aqui u=-\frac{1}{2n+1} e u\to0 quando n\to\infty. Assim
\ln|t_n|=n\left(-\frac{1}{2n+1}+o\!\left(\frac{1}{n}\right)\right)\xrightarrow[n\to\infty]{}-\frac{1}{2}.
Portanto
\lim_{n\to\infty}|t_n|=e^{-1/2}>0.
Como os termos não tendem a zero, a série em x=-1 não pode convergir (teste da condição necessária para convergência de séries: se uma série \sum t_n converge então t_n\to0). Logo a série diverge em x=-1.
Observação: aplicar o Teste da Raiz direto em t_n \lim \sqrt[n]{|t_n|}=\lim \frac{2n}{2n+1}=1, que é inconclusivo; por isso usamos o cálculo do limite dos termos.

Passo 5

Teste no extremo x=3 (que corresponde a x-1=2):
Substituindo x=3 os termos ficam
t_n=\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n 2^n=\left(\frac{2n}{2n+1}\right)^n.
Isto é exatamente o valor absoluto do caso anterior, e pelo mesmo cálculo temos
\lim_{n\to\infty} t_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n}{2n+1}\right)^n=e^{-1/2}>0.
Os termos não tendem a zero, logo a série também diverge em x=3.

Passo 6

Conclusão final, juntando tudo:
  • Raio de convergência R=2.
  • A série converge absolutamente para |x-1|<2, isto é no intervalo aberto (-1,3).
  • Em x=-1 e em x=3 a série diverge (os termos não tendem a zero).

Resposta

R=2
Intervalo de convergência: (-1,3)

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