Determine o Raio de Convergencia e o Intervalo de Convergencia, das series usando o Teste da Raiz provar se converge ou diverge. \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}(x-1)^{n}
Passo 1
O enunciado pede: determinar o Raio de Convergência e o Intervalo de Convergência da série power series
e a série está escrita na forma \sum_{n=1}^\infty a_n (x-1)^n, ou seja, é uma série de potências centrada em 1.
O que precisamos entregar:
o raio de convergência R;
o intervalo de convergência (em termos de x), verificando também os dois extremos x=-1 e x=3 (que correspondem a 1\pm R) e provar convergência ou divergência usando o Teste da Raiz quando for útil.
Passo 2
Explicação didática do método (Teste da Raiz aplicada a séries de potências):
Para uma série de potências \sum a_n (x-c)^n, aplicar o Teste da Raiz aos termos b_n=a_n (x-c)^n. O Teste da Raiz diz: calcule
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
No caso de série de potências,
\sqrt[n]{|b_n|}=\sqrt[n]{|a_n|}\,|x-c|.
Assim a condição \limsup \sqrt[n]{|a_n|}\,|x-c|<1 determina o intervalo de x onde a série converge absolutamente. Portanto o raio de convergência R é
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Vou usar essa fórmula: primeiro encontro \limsup \sqrt[n]{|a_n|}, depois R. Depois testarei os extremos x=c\pm R separadamente.
Passo 3
Cálculo de \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} para a_n=\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n.
Primeiro note que
Como os termos não tendem a zero, a série em x=-1 não pode convergir (teste da condição necessária para convergência de séries: se uma série \sum t_n converge então t_n\to0). Logo a série diverge em x=-1.
Observação: aplicar o Teste da Raiz direto em t_n dá \lim \sqrt[n]{|t_n|}=\lim \frac{2n}{2n+1}=1, que é inconclusivo; por isso usamos o cálculo do limite dos termos.
Passo 5
Teste no extremo x=3 (que corresponde a x-1=2):
Substituindo x=3 os termos ficam