Determine O RAIO de convergência e O INTERVALO de convergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{4 n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o RAIO de convergência e o INTERVALO de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{4 n}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A série é uma série de potências centrada em \,1, isto é, tem a forma \sum_{n=1}^\infty a_n (x-1)^n.
  • Os coeficientes são a_n=\dfrac{1}{4n}.
  • Perguntas: (1) qual é o raio de convergência R? (2) qual o intervalo de convergência (valores de x para os quais a série converge), incluindo análise nos extremos?

Passo 2

Escolha do método para obter o raio R.
Uma forma direta e padrão é usar a fórmula de Cauchy-Hadamard para séries de potências:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}},
onde a_n são os coeficientes da potência (x-1)^n. Aqui a_n=\dfrac{1}{4n}. Vou calcular \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.

Passo 3

Cálculo do \limsup.
|a_n|^{1/n}=\left(\frac{1}{4n}\right)^{1/n}=\frac{1}{4^{1/n}\,n^{1/n}}.
Agora usamos dois limites conhecidos:
  • \lim_{n\to\infty}4^{1/n}=1, porque qualquer constante positiva elevada à potência 1/n tende a 1 quando n\to\infty.
  • \lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1. Uma justificativa rápida: \ln(n^{1/n})=\dfrac{\ln n}{n}\to 0, então n^{1/n}\to e^0=1.
    Portanto
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{4n}\right)^{1/n}=\frac{1}{1\cdot 1}=1.
Assim \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1.

Passo 4

Conclusão para o raio R.
Aplicando a fórmula de Cauchy-Hadamard:
R=\frac{1}{1}=1.
Interpretação prática: a série converge (pelo menos) para x tais que |x-1|<1, isto é no intervalo aberto (0,2) em termos de x.

Passo 5

Agora precisamos checar a convergência nos extremos do intervalo: x=0 (onde |x-1|=1 pela esquerda) e x=2 (onde |x-1|=1 pela direita).
Teste em x=0:
Substituindo x=0 obtemos a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(0-1)^n}{4n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n} é a série alternada harmônica. Aplicamos o teste de Leibniz (teste da série alternada): se os termos b_n=\dfrac{1}{n} são positivos, monotonicamente decrescentes e tendem a 0, então \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=1/n satisfaz todas as condições, logo a série converge. Portanto em x=0 a série original converge.

Passo 6

Natureza da convergência em x=0 (absoluta ou condicional).
Verifiquemos a série das normas (convergência absoluta):
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{4n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
e \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge (série harmônica). Portanto a convergência em x=0 é condicional, não absoluta.

Passo 7

Teste em x=2:
Substituindo x=2 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2-1)^n}{4n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Novamente aparece a série harmônica multiplicada por \tfrac{1}{4}, que diverge. Logo a série diverge em x=2.

Passo 8

Conclusão final sobre o intervalo de convergência.
  • A série converge para todo x com |x-1|<1, isto é para x\in(0,2).
  • No extremo x=0 ela converge condicionalmente.
  • No extremo x=2 ela diverge.
    Portanto o intervalo de convergência é [0,2).

Resposta

\text{Raio de convergência} = 1ê
\text{Intervalo de convergência} = [0,2)ê

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