Determine O RAIO de convergência e O INTERVALO de convergência. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{4 n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar o RAIO de convergência e o INTERVALO de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{4 n}.
Informações dadas e o que é pedido:
A série é uma série de potências centrada em \,1, isto é, tem a forma \sum_{n=1}^\infty a_n (x-1)^n.
Os coeficientes são a_n=\dfrac{1}{4n}.
Perguntas: (1) qual é o raio de convergência R? (2) qual o intervalo de convergência (valores de x para os quais a série converge), incluindo análise nos extremos?
Passo 2
Escolha do método para obter o raio R.
Uma forma direta e padrão é usar a fórmula de Cauchy-Hadamard para séries de potências:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}},
onde a_n são os coeficientes da potência (x-1)^n. Aqui a_n=\dfrac{1}{4n}. Vou calcular \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n} é a série alternada harmônica. Aplicamos o teste de Leibniz (teste da série alternada): se os termos b_n=\dfrac{1}{n} são positivos, monotonicamente decrescentes e tendem a 0, então \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=1/n satisfaz todas as condições, logo a série converge. Portanto em x=0 a série original converge.
Passo 6
Natureza da convergência em x=0 (absoluta ou condicional).
Verifiquemos a série das normas (convergência absoluta):