1. Resolva o problema de valor inicial (PVI)
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas:
Ou seja: devemos achar uma função
que satisfaça a equação diferencial para todo
e que em
valha
.
Passo 2
Vamos transformar a equação de forma a poder integrá‑la diretamente. Aqui usamos a ideia do fator integrante: multiplicamos a equação por uma função
escolhida para que o lado esquerdo vire a derivada de um produto. Primeiro escolhemos
como
Explicando por que isso funciona: o produto
tem derivada, pela regra do produto,
Como
, temos
ou seja, multiplicando a equação original por
o lado esquerdo se torna
. Isso é a chave do método.
Passo 3
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo cálculo do passo anterior o lado esquerdo é a derivada do produto:
pois
, então o lado direito simplifica para
.
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é
onde
é a constante de integração. Logo
Passo 5
Isolamos
dividindo por
:
Aqui
é um polinômio em
e
é o fator exponencial. Ainda falta determinar
usando a condição inicial.
Passo 6
Usamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão geral:
Como
, obtemos
.
Passo 7
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular do PVI:
Vou fazer uma checagem rápida (útil na prova): se definir
, então
e, por regra do produto,
Assim
que é exatamente o termo do lado direito da equação original. Ou seja, a solução está correta.