\_\_\_\_ 1. Resolva o problema de valor inicial (PVI) y^{\prime}+2 y=(x-1) e^{-2 x}, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI)
y'(x)+2y(x)=(x-1)e^{-2x},\qquad y(0)=1.
Informações dadas:
\text{Equação diferencial: } y'+2y=(x-1)e^{-2x},çã
\text{Condição inicial: } y(0)=1.çã
Ou seja: devemos achar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial para todo x e que em x=0 valha 1.

Passo 2

Vamos transformar a equação de forma a poder integrá‑la diretamente. Aqui usamos a ideia do fator integrante: multiplicamos a equação por uma função \mu(x) escolhida para que o lado esquerdo vire a derivada de um produto. Primeiro escolhemos \mu(x) como
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Explicando por que isso funciona: o produto \mu(x)y(x) tem derivada, pela regra do produto,
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y.
Como \mu'=2e^{2x}=2\mu, temos
\mu y'+\mu' y=e^{2x}y'+2e^{2x}y=e^{2x}(y'+2y),
ou seja, multiplicando a equação original por e^{2x} o lado esquerdo se torna (e^{2x}y)'. Isso é a chave do método.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{2x} obtemos
e^{2x}y'(x)+2e^{2x}y(x)=e^{2x}(x-1)e^{-2x}.
Pelo cálculo do passo anterior o lado esquerdo é a derivada do produto:
\bigl(e^{2x}y(x)\bigr)' = e^{2x}(x-1),
pois e^{2x}\cdot e^{-2x}=1, então o lado direito simplifica para x-1.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{2x}y(x)\bigr)'\,dx = \int (x-1)\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{2x}y(x). A integral do lado direito é
\int (x-1)\,dx = \frac{x^{2}}{2}-x + C,
onde C é a constante de integração. Logo
e^{2x}y(x)=\frac{x^{2}}{2}-x + C.

Passo 5

Isolamos y(x) dividindo por e^{2x}:
y(x)=e^{-2x}\left(\frac{x^{2}}{2}-x + C\right).
Aqui \frac{x^{2}}{2}-x+C é um polinômio em x e e^{-2x} é o fator exponencial. Ainda falta determinar C usando a condição inicial.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 na expressão geral:
y(0)=e^{0}\left(\frac{0^{2}}{2}-0 + C\right)=C.
Como y(0)=1, obtemos C=1.

Passo 7

Substituindo C=1 na solução geral obtemos a solução particular do PVI:
y(x)=e^{-2x}\left(\frac{x^{2}}{2}-x + 1\right).
Vou fazer uma checagem rápida (útil na prova): se definir p(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-x+1, então p'(x)=x-1 e, por regra do produto,
y'(x)=e^{-2x}\bigl(p'(x)-2p(x)\bigr).
Assim
y'(x)+2y(x)=e^{-2x}\bigl(p'(x)-2p(x)\bigr)+2e^{-2x}p(x)=e^{-2x}p'(x)=e^{-2x}(x-1),
que é exatamente o termo do lado direito da equação original. Ou seja, a solução está correta.

Resposta

y(x)=e^{-2x}\left(\frac{x^{2}}{2}-x+1\right)

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