Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=0^+infty(34)^k(x+5)^k

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumk=0^inftyl(tfrac34r)^k(x+5)^k. O conteúdo aqui é série de potências centrada em x0=-5, e vamos usar o critério da série geométrica (ou teste da razão) para achar onde a série converge.

Passo 2

Podemos enxergar a série como uma série geométrica de razão q=(3/4)(x+5), pois
block::
[\sum_{k=0}{\infty}\bigl(\tfrac34\bigr)k(x+5)k=\sum_{k=0}{\infty}\bigl((3/4)(x+5)\bigr)^k]
Para uma série geométrica sum q^k convergir, precisamos de |q|<1.

Passo 3

Assim, impomos
block::
[\bigl|\tfrac34(x+5)\bigr|<1]
Isso dá
block::
[|x+5|<\tfrac43]
Logo, o raio de convergência é R=4/3.

Passo 4

Como o centro é -5, o intervalo de convergência inicial fica
block::
[(-5-\tfrac43,,-5+\tfrac43)=(-\tfrac{19}3,,-\tfrac{11}3)].
Agora testamos os extremos: Para x=-19/3 ou x=-11/3 temos |q|=1, o termo geral não tende a zero (fica pm1), então a série diverge em ambos os extremos.

Passo 5

Portanto o intervalo de convergência é aberto: (-19/3,,-11/3).

Resposta

Raio de convergência: R = 4/3 ; Intervalo de convergência: (-19/3, -11/3)

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