Determine
raio de convergência e o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
. O conteúdo aqui é série de potências centrada em
, e vamos usar o critério da série geométrica (ou teste da razão) para achar onde a série converge.
Passo 2
Podemos enxergar a série como uma série geométrica de razão
, pois
block::
[\sum_{k=0}{\infty}\bigl(\tfrac34\bigr)k(x+5)k=\sum_{k=0}{\infty}\bigl((3/4)(x+5)\bigr)^k]
Para uma série geométrica convergir, precisamos de
.
block::
[\sum_{k=0}{\infty}\bigl(\tfrac34\bigr)k(x+5)k=\sum_{k=0}{\infty}\bigl((3/4)(x+5)\bigr)^k]
Para uma série geométrica
Passo 3
Assim, impomos
block::
[\bigl|\tfrac34(x+5)\bigr|<1]
Isso dá
block::
[|x+5|<\tfrac43]
Logo, o raio de convergência é .
block::
[\bigl|\tfrac34(x+5)\bigr|<1]
Isso dá
block::
[|x+5|<\tfrac43]
Logo, o raio de convergência é
Passo 4
Como o centro é
, o intervalo de convergência inicial fica
block::
[(-5-\tfrac43,,-5+\tfrac43)=(-\tfrac{19}3,,-\tfrac{11}3)].
Agora testamos os extremos: Para ou
temos
, o termo geral não tende a zero (fica
), então a série diverge em ambos os extremos.
block::
[(-5-\tfrac43,,-5+\tfrac43)=(-\tfrac{19}3,,-\tfrac{11}3)].
Agora testamos os extremos: Para
Passo 5
Portanto o intervalo de convergência é aberto:
.
Resposta
Raio de convergência: R = 4/3 ; Intervalo de convergência: (-19/3, -11/3)