Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=2^+infty(-1)^k+1 x^kk(ln k)^2

Passo 1

O enunciado pede para achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências a partir de k=2:
sumk=2^+infty(-1)^k+1x^kk(ln k)^2
Conteúdo: convergência de séries de potências. Vamos usar o teste da razão para o raio, e depois investigar os pontos finais x=±1 com teste alternante e teste de integral.

Passo 2

Para achar o raio de convergência usamos o teste da razão. Seja ak = (-1)^k+1/[k(ln k)^2]. Calculamos
L = limktoinfty |ak+1x^k+1akx^k| = limktoinftyk(ln k)^2(k+1)(ln(k+1))^2,|x| = |x|
O teste da razão diz que converge se L<1, ou seja |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

No ponto x=1 a série vira
sumk=2^+infty(-1)^k+11k(ln k)^2,
que é alternante, com termos 1/[k(ln k)^2] decrescentes e que tendem a zero. Pelo teste de Leibniz ela converge. Para verificar convergência absoluta usamos o teste de integral:
integral2^inftydxx(ln x)^2 = l[-1ln xr]2^infty = 1ln 2
logo também converge absolutamente.

Passo 4

No ponto x=-1 a série se torna
sumk=2^+infty(-1)^k+1(-1)^kk(ln k)^2 = -sumk=2^+infty1k(ln k)^2,
que é simplesmente menos a série dos termos positivos 1/[k(ln k)^2]. Já vimos pelo teste de integral que essa série converge, então aqui também converge (na verdade absolutamente).

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [−1, 1].

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