Determine raio de convergência e o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências a partir de k=2:
Conteúdo: convergência de séries de potências. Vamos usar o teste da razão para o raio, e depois investigar os pontos finais x=±1 com teste alternante e teste de integral.
Passo 2
Para achar o raio de convergência usamos o teste da razão. Seja . Calculamos
O teste da razão diz que converge se L<1, ou seja |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.
Passo 3
No ponto x=1 a série vira
sumk=2^+infty(-1)^k+11k(ln k)^2,
que é alternante, com termos 1/[k(ln k)^2] decrescentes e que tendem a zero. Pelo teste de Leibniz ela converge. Para verificar convergência absoluta usamos o teste de integral:
que é simplesmente menos a série dos termos positivos 1/[k(ln k)^2]. Já vimos pelo teste de integral que essa série converge, então aqui também converge (na verdade absolutamente).
Resposta
O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [−1, 1].