Calcule os limites.
lim t inftylang<=1+t^21-t^2, tg^-1 t, 1-e^-2 ttrang<=

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite do vetor limttoinftyllang<=1+t^21-t^2,,tan^-1t,,1-e^-2ttrrang<=. É um problema de limites de funções elementares: razão de polinômios, função inversa trigonométrica e função envolvendo exponencial.

Passo 2

Para a primeira componente 1+t^21-t^2, note que, para polinômios, o limite em ttoinfty é dado pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui tanto o numerador quanto o denominador têm termo dominante t^2. Assim
limttoinfty1+t^21-t^2=1-1=-1

Passo 3

A segunda componente é tan^-1t. Sabemos que limxto+inftytan^-1x=pi2. Portanto
limttoinftytan^-1t=pi2

Passo 4

Para a terceira componente 1-e^-2tt, observe que e^-2tto0 quando ttoinfty, então o numerador tende a 1 e o denominador cresce sem limite. Logo
limttoinfty1-e^-2tt=1infty=0

Resposta

\langle -1, \tfrac{\pi}{2}, 0 \rangle

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