Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=0^+infty (-1)^k x^2 k(2 k)!

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumk=0^infty (-1)^k x^2k(2k)!. O conteúdo envolvido é séries de potências e vamos usar o teste da razão para descobrir o raio.

Passo 2

Denotamos o termo geral por ak = (-1)^k x^2k(2k)!. No teste da razão, analisamos |ak+1ak|.

Passo 3

Calculamos o quociente dos termos consecutivos:
L = limktoinfty |ak+1ak| = limktoinfty |x|^2(k+1)(2k+2)! cdot (2k)!|x|^2k = limktoinfty |x|^2(2k+2)(2k+1) = 0

Passo 4

Como L=0 para todo x, o teste da razão diz que a série converge para qualquer x. Portanto, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

Raio de convergência R = +infty. Intervalo de convergência (-infty,infty).

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