Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expandir a função
em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar onde
. Isso significa que vamos representar a função como uma série que funciona bem quando
está em torno de 1, mas sem incluir o ponto
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Laurent e como expandir funções envolvendo exponenciais e termos racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Seja
, então
. Assim, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos separar
em
. Então:
Passo 4
A gente sabe que a série de Taylor para
é:
Isso é válido para todo
, ou seja, para todo
.
Passo 5
Substituindo essa série na expressão de
:
Passo 6
Vamos reescrever a série ajustando o índice para facilitar a interpretação:
Isso é uma série de Laurent porque inclui termos com potências negativas de
(ou seja,
).
Passo 7
Finalmente, substituindo
de volta na série, temos:
Resposta
A expansão em série de Laurent da função
válida no domínio anelar
é: