Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
f(z)=e^zz-1, 0<|z-1|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expandir a função em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar onde . Isso significa que vamos representar a função como uma série que funciona bem quando está em torno de 1, mas sem incluir o ponto . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Laurent e como expandir funções envolvendo exponenciais e termos racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Seja f(z) = e^w+1w , então . Assim, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos separar f(z) = e cdot e^ww = e cdot e^ww em . Então:

Passo 4

A gente sabe que a série de Taylor para e^w = sumn=0^infty w^nn! é:
Isso é válido para todo , ou seja, para todo .

Passo 5

Substituindo essa série na expressão de f(z) = e cdot 1w cdot sumn=0^infty w^nn! = e cdot sumn=0^infty w^n-1n! :

Passo 6

Vamos reescrever a série ajustando o índice para facilitar a interpretação:
f(z) = e cdot ( 1w + 1 + w2! + w^23! + cdots )
Isso é uma série de Laurent porque inclui termos com potências negativas de (ou seja, ).

Passo 7

Finalmente, substituindo f(z) = e cdot ( 1z-1 + 1 + (z-1)2! + (z-1)^23! + cdots ) de volta na série, temos:

Resposta

A expansão em série de Laurent da função f(z) = e ( 1z-1 + 1 + (z-1)2! + (z-1)^23! + cdots ) válida no domínio anelar é:

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