Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=0^+infty(-1)^k (x-4)^k(k+1)^2

Passo 1

A questão pede determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumk=0^infty(-1)^k (x-4)^k(k+1)^2, que é centrada em x0=4. Vamos usar testes de convergência de séries de potências (teste da raiz e análise nos extremos).

Passo 2

Aplicando o teste da raiz para o termo geral ak(x)=(-1)^k tfrac(x-4)^k(k+1)^2:
raiz[k]|ak(x)| =raiz[k]|(-1)^k (x-4)^k(k+1)^2| =|x-4|,(k+1)^-2/k to|x-4|(ktoinfty)

Passo 3

Para convergir, precisamos de |x-4|<1. Logo o raio de convergência é R=1 e o trecho interno é 3.

Passo 4

Testando o extremo x=5: temos x-4=1 e a série vira sumk=0^infty(-1)^k/(k+1)^2. Como sum1/(k+1)^2 converge (série p com p=2>1), a série converge absolutamente em x=5.
Testando o extremo x=3: temos x-4=-1 e a série vira sumk=0^infty1/(k+1)^2, que também converge por p-série com p=2>1. Portanto, os dois extremos estão incluídos.

Passo 5

Com isso concluímos o intervalo de convergência como [3,5].

Resposta

Raio de convergência: R=1; Intervalo de convergência: [3,5]

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