Determine raio de convergência e o intervalo de convergência.
Passo 1
A questão pede determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências , que é centrada em . Vamos usar testes de convergência de séries de potências (teste da raiz e análise nos extremos).
Passo 2
Aplicando o teste da raiz para o termo geral :
Passo 3
Para convergir, precisamos de |x-4|<1. Logo o raio de convergência é R=1 e o trecho interno é 3.
Passo 4
Testando o extremo x=5: temos x-4=1 e a série vira sumk=0^infty(-1)^k/(k+1)^2. Como sum1/(k+1)^2 converge (série p com p=2>1), a série converge absolutamente em x=5.
Testando o extremo x=3: temos x-4=-1 e a série vira sumk=0^infty1/(k+1)^2, que também converge por p-série com p=2>1. Portanto, os dois extremos estão incluídos.
Passo 5
Com isso concluímos o intervalo de convergência como [3,5].
Resposta
Raio de convergência: R=1; Intervalo de convergência: [3,5]