Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=1^+infty (ln k)(x-3)^kk

Passo 1

Enunciado: queremos estudar a série de potências centrada em 3
sumk=1^infty (ln k)k(x-3)^k
Conteúdo: séries de potências, cálculo de raio de convergência por testes de razão/raiz e análise nos extremos do intervalo.

Passo 2

Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz em bloco, que diz que
R=1limsupktoinftyraiz[k]l|akr|
com ak=ln kk. Calculamos
raiz[k]ln kk=expl(ln(ln k)-ln kkr)to e^0=1
Logo R=1.

Passo 3

O intervalo aberto de convergência é dado por
|x-3|<1implies 2

Passo 4

Análise em x=2: temos x-3=-1, então a série vira
sumk=1^infty (-1)^kln kk
Como bk=ln kkto0 e para k>=3 a sequência bk é decrescente (pois ddk(ln k/k)<0 para k>e), vale o critério de Leibniz. Logo converge condicionalmente.

Passo 5

Análise em x=4: temos x-3=1, e a série se torna
sumk=1^infty ln kk,
que diverge por comparação com a integral integral (ln x)/x,dx=(ln x)^2/2. Portanto não converge em x=4.

Resposta

Raio de convergência R=1. Intervalo de convergência: [2,4).

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