Determine
raio de convergência e o intervalo de convergência.
Passo 1
Enunciado: queremos estudar a série de potências centrada em 3
Conteúdo: séries de potências, cálculo de raio de convergência por testes de razão/raiz e análise nos extremos do intervalo.
Passo 2
Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz em bloco, que diz que
com
ak=ln kk . Calculamos
Logo
R=1 .
Passo 3
O intervalo aberto de convergência é dado por
Passo 4
Análise em
x=2 : temos
x-3=-1 , então a série vira
Como
bk=ln kkto0 e para
k>=3 a sequência
bk é decrescente (pois
ddk(ln k/k)<0 para
k>e ), vale o critério de Leibniz. Logo converge condicionalmente.
Passo 5
Análise em
x=4 : temos
x-3=1 , e a série se torna
que diverge por comparação com a integral
integral (ln x)/x,dx=(ln x)^2/2 . Portanto não converge em
x=4 .
Resposta
Raio de convergência
R=1 . Intervalo de convergência:
[2,4) .