Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=0^+infty 3^kk! x^k

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências sumk=0^infty 3^kk!x^k. O conteúdo é série de potências e vamos usar o teste da razão de D’Alembert para obter o raio.

Passo 2

Pelo teste da razão, tomamos o termo geral ak x^k com ak = 3^kk! e calculamos
L = limktoinfty |ak+1x^k+1ak x^k| = limktoinfty |x|3^k+1/(k+1)!3^k/k! = limktoinfty |x|3k+1 = 0

Passo 3

O resultado L=0 indica que a série converge para todo x. Assim, o raio de convergência é R=+infty.

Passo 4

Como a série converge para qualquer valor de x, o intervalo de convergência é ( -infty, infty ).

Resposta

Raio de convergência: R = +∞; Intervalo de convergência: (−∞, ∞).

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