Determine
raio de convergência e o intervalo de convergência.
Passo 1
O exercício pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
. O conteúdo é estudo de séries de potências e vamos usar o teste da raiz e depois verificar o comportamento nas extremidades.
Passo 2
Para aplicar o teste da raiz, consideramos o termo geral
. Calculamos
Como
, o limite do k-ésimo radical é
Passo 3
Da condição de convergência do teste da raiz, temos
, isto é
. Logo a série converge para
e diverge se
. Portanto, o raio de convergência é
.
Passo 4
Agora é preciso testar as extremidades
e
:
Para , o termo geral vira
Para
Como é uma série alternante com expoente
, ela converge absolutamente (na verdade, a série de p-série com
já garante convergência).
Para , o termo fica
Para
Isto é uma p-série com
, que também converge.
Passo 5
Como em ambas as extremidades a série converge, o intervalo de convergência é fechado e dado por
.
Resposta
Raio de convergência
, intervalo de convergência
.