Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=1^+infty(-1)^k x^3 kk^3 / 2

Passo 1

O exercício pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumk=1^infty(-1)^kx^3kk^3/2. O conteúdo é estudo de séries de potências e vamos usar o teste da raiz e depois verificar o comportamento nas extremidades.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, consideramos o termo geral ak = (-1)^kx^3k/k^3/2. Calculamos
raiz[k]|ak| = |x|^3k^1/(2k)
Como limktoinftyk^1/(2k)=1, o limite do k-ésimo radical é
L = limktoinftyraiz[k]|ak| = |x|^3

Passo 3

Da condição de convergência do teste da raiz, temos L<1, isto é |x|^3<1. Logo a série converge para
|x|<1
e diverge se |x|>1. Portanto, o raio de convergência é R=1.

Passo 4

Agora é preciso testar as extremidades x=1 e x=-1:
Para x=1, o termo geral vira
(-1)^k1^3kk^3/2 = (-1)^kk^3/2
Como é uma série alternante com expoente 3/2>1, ela converge absolutamente (na verdade, a série de p-série com p=3/2>1 já garante convergência).
Para x=-1, o termo fica
(-1)^k(-1)^3kk^3/2 = (-1)^4kk^3/2 = 1k^3/2
Isto é uma p-série com p=3/2>1, que também converge.

Passo 5

Como em ambas as extremidades a série converge, o intervalo de convergência é fechado e dado por [-1,1].

Resposta

Raio de convergência R=1, intervalo de convergência [-1,1].

Exercícios relacionados