Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de
para a função dada.
sen
sen
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
em torno de
, usando notação de somatório. O conteúdo é a expansão de Taylor em torno de um ponto
e vamos precisar da definição geral de série de Taylor e de calcular as derivadas de
em
.
Passo 2
Vamos lembrar que a série de Taylor de
em torno de
é dada por
Passo 3
Para calcular os coeficientes, derivamos
várias vezes. Em geral:
$$
f’(x)=\pi\cos(\pi x),\quad f’’(x)=-\pi^2\sin(\pi x),\quad f’’’(x)=-\pi^3\cos(\pi x),\quad f{(4)}(x)=\pi4\sin(\pi x),$$\nque se repete a cada 4 derivadas.
Passo 4
Agora avaliamos em
. Como
e
, só as derivadas de ordem par sobrevivem. Para
:
e para
:
Passo 5
Portanto, a série fica restrita aos termos pares. Em notação de somatório: