Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de x=x0 para a função dada.
sen pi x ; x0=12

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=sin(pi x) em torno de x0=tfrac12, usando notação de somatório. O conteúdo é a expansão de Taylor em torno de um ponto x0 e vamos precisar da definição geral de série de Taylor e de calcular as derivadas de sin(pi x) em x0.

Passo 2

Vamos lembrar que a série de Taylor de f em torno de x0 é dada por
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!,(x-x0)^n

Passo 3

Para calcular os coeficientes, derivamos f(x)=sin(pi x) várias vezes. Em geral:
$$
f’(x)=\pi\cos(\pi x),\quad f’’(x)=-\pi^2\sin(\pi x),\quad f’’’(x)=-\pi^3\cos(\pi x),\quad f{(4)}(x)=\pi4\sin(\pi x),$$\nque se repete a cada 4 derivadas.

Passo 4

Agora avaliamos em x0=tfrac12. Como sin(pi/2)=1 e cos(pi/2)=0, só as derivadas de ordem par sobrevivem. Para n=2k:
f^(2k)l(tfrac12r)=(-1)^k,pi^2k,
e para n=2k+1:
f^(2k+1)l(tfrac12r)=0

Passo 5

Portanto, a série fica restrita aos termos pares. Em notação de somatório:
sin(pi x)=sumk=0^infty f^(2k)(tfrac12)(2k)!(x-tfrac12)^2k =sumk=0^infty(-1)^kpi^2k(2k)!,(x-tfrac12)^2k

Resposta

sin(pi x)=sumk=0^infty(-1)^kpi^2k(2k)!,(x-tfrac12)^2k

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