Determine
raio de convergência e o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries de potências, e vamos usar especialmente o teste da raiz para achar o raio e depois testar os pontos extremos.
Passo 2
Para achar o raio de convergência
, aplicamos o teste da raiz. Seja
. Calculamos
Para convergência, precisamos de
. Logo, o raio de convergência é
.
Passo 3
Agora testamos o ponto
. A série fica
. Como para grandes
,
e
converge (p-série com
), essa série converge absolutamente em
.
Passo 4
Em
, a série é
. Os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero, então pelo teste da série alternada (Leibniz) a série converge também em
.
Resposta
Raio de convergência: R = 1. Intervalo de convergência: [-1, 1].