Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=0^+infty x^k1+k^2

Passo 1

O enunciado pede para achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumk=0^inftyx^k1+k^2. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries de potências, e vamos usar especialmente o teste da raiz para achar o raio e depois testar os pontos extremos.

Passo 2

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da raiz. Seja ak=11+k^2. Calculamos
limsupktoinfty|ak x^k|^1/k =limsupktoinftyl(|x|^k1+k^2r)^1/k =|x|cdotlimsupktoinfty(1+k^2)^-1/k =|x|cdot1 =|x|
Para convergência, precisamos de |x|<1. Logo, o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Agora testamos o ponto x=1. A série fica sumk=0^infty11+k^2. Como para grandes k, 1/(1+k^2)sim1/k^2 e sum1/k^2 converge (p-série com p=2>1), essa série converge absolutamente em x=1.

Passo 4

Em x=-1, a série é sumk=0^infty(-1)^k11+k^2. Os termos 1/(1+k^2) são positivos, decrescentes e tendem a zero, então pelo teste da série alternada (Leibniz) a série converge também em x=-1.

Resposta

Raio de convergência: R = 1. Intervalo de convergência: [-1, 1].

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