Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=2^+infty x^kln k

Passo 1

A série em questão é sumk=2^infty x^kln k. O conteúdo envolve séries de potências: precisamos achar o raio de convergência usando o Teste da Raiz (ou Razão) e depois checar o comportamento da série nos pontos x=R e x=-R.

Passo 2

Para o raio de convergência aplicamos o Teste da Raiz. Se ak=1/ln k, então
R=1limsupktoinftyraiz[k]|ak|= 1limsupktoinfty(1/ln k)^1/k

Passo 3

Como
(1/ln k)^1/k=expl(tfrac-ln(ln k)kr)toexp(0)=1

Passo 4

segue que R=1.

Passo 5

Agora testamos o ponto x=1. A série fica sumk=2^infty 1ln k. Pelo Teste da Condensação de Cauchy ou pelo integral integral2^infty dxln x (que diverge), concluímos que diverge em x=1.

Passo 6

No ponto x=-1 temos a série alternada sumk=2^infty (-1)^k/ln k. Os termos 1/ln k são positivos, monótonos decrescentes e tendem a zero, logo pela Série de Leibniz a série converge (condicionalmente).

Resposta

Raio de convergência: R=1. Intervalo de convergência: [-1,1).

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