Resolva as seguintes convoluções:
y[n]=y[n]=B^n u[n]^* u[n-3],|B|<1

Passo 1

O enunciado pede a convolução discreta de dois sinais: x[n]=B^n·u[n] e h[n]=u[n-3]. O conteúdo aqui é a soma de convolução em tempo discreto, e vamos precisar da definição
y[n]=sumk=-infty^+inftyx[k],h[n-k]
além de entender o suporte das funções de passo u[n].

Passo 2

Começamos escrevendo explicitamente o somatório usando x[k]=B^k·u[k] e h[n-k]=u[n-k-3]:
y[n]=sumk=-infty^+inftyB^k,u[k],u[n-k-3]
Aqui u[k] obriga k≥0 e u[n-k-3] obriga n-k-3≥0.

Passo 3

Agora achamos os limites de soma juntando as duas condições:
  • k≥0
  • k≤n-3
    Logo o somatório vira k de 0 até n-3, mas só faz sentido quando n-3≥0 (ou seja n≥3). Para n<3 não há valores de k e y[n]=0.

Passo 4

Dentro desses limites, y[n] é uma soma geométrica:
y[n]=sumk=0^n-3B^k
Como |B|<1, usamos a fórmula da soma geométrica finita:
sumk=0^mB^k=1-B^m+11-B
com m=n-3, m+1=n-2. Então para n≥3:
y[n]=1-B^n-21-B

Passo 5

Finalmente, lembramos que y[n]=0 para n<3 e o resultado vale só a partir de n=3. Podemos capturar isso usando u[n-3].

Resposta

y[n]=1-B^n-21-B,u[n-3]

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