Determine o raio de convergência (R) das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{\pi i}{n}\right) z^{n}.
Resposta: R=1

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \sin\!\left(\frac{\pi i}{n}\right) z^{n}
e pede o raio de convergência R. As informações relevantes que temos são:
a_n=\sin\!\left(\frac{\pi i}{n}\right)\quad\text{(coeficientes da série em }z^{n}\text{)}é
e a série inteira \sum_{n=1}^\infty a_n z^n. O objetivo é encontrar R, o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Para séries de potências a ferramenta padrão é a fórmula de Cauchy–Hadamard:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Aqui a_n são os coeficientes da série (já identificados no Passo 1). Então nossa tarefa reduz-se a calcular \displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.

Passo 3

Precisamos simplificar a_n=\sin\!\left(\frac{\pi i}{n}\right). Use a identidade da função seno para argumento imaginário. Para t\in\mathbb{R} vale
\sin(i t)=\frac{e^{i(i t)}-e^{-i(i t)}}{2i}=\frac{e^{-t}-e^{t}}{2i}=i\,\operatorname{sinh}(t).
Aplicando com t=\dfrac{\pi}{n} obtemos
a_n=\sin\!\left(\frac{\pi i}{n}\right)=i\,\operatorname{sinh}\!\left(\frac{\pi}{n}\right).

Passo 4

Da expressão do Passo 3 segue que os módulos dos coeficientes são
|a_n|=\left|i\,\operatorname{sinh}\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\right|=\operatorname{sinh}\!\left(\frac{\pi}{n}\right),
pois |i|=1 e \operatorname{sinh}(\pi/n)>0 para n\ge1.

Passo 5

Agora analisamos o comportamento assintótico de \operatorname{sinh}(x) quando x\to0. Uma forma simples é usar a expansão em série de Taylor ou o limite
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sinh} x}{x}=1.
Com x=\dfrac{\pi}{n} isso dá
\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sinh}\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\pi/n}=1,
ou seja \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\sim \dfrac{\pi}{n} quando n\to\infty. Portanto para grandes n temos |a_n|\approx \dfrac{\pi}{n}.

Passo 6

Calculemos \displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}. Usando a aproximação do Passo 5,
|a_n|^{1/n}\sim\left(\frac{\pi}{n}\right)^{1/n}.
Mas é um fato básico que
\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1,
pois \ln(n^{1/n})=\dfrac{\ln n}{n}\to0. Assim
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\pi}{n}\right)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\pi^{1/n}\cdot n^{-1/n}=1\cdot 1=1.
Portanto
\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1.

Passo 7

Aplicando a fórmula de Cauchy–Hadamard do Passo 2, obtemos
R=\frac{1}{1}=1.

Resposta

R=1

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