Seja f analítica num domínio limitado D e contínua em \bar{D}, e escreva f=u+i v. Mostre que a funçaõ harmônica u(x, y) assume seu valor mínimo na fronteira de D e nunca num ponto interior, a menos que u seja constante.

Passo 1

O enunciado dá que f é analítica em um domínio limitado D e contínua em \overline{D}. Escrevemos f=u+i v, onde u e v são as partes real e imaginária de f. A tarefa é mostrar duas coisas ligadas: (i) a função harmônica u(x,y) atinge seu valor mínimo em algum ponto da fronteira \partial D; (ii) u não pode assumir um mínimo em um ponto interior de D, a menos que u seja constante. Informações relevantes fornecidas: D é limitado; f é analítica em D (portanto u é harmônica em D); f é contínua em \overline{D}.

Passo 2

Primeiro fato útil (topologia/continuidade): como D é limitado e f é contínua em \overline{D}, temos que \overline{D} é compacto e u é contínua em \overline{D}. Pelo teorema do valor extremo (extreme value theorem), a função contínua u atinge seu valor mínimo em algum ponto de \overline{D}. Ou seja, existe z_0\in\overline{D} tal que u(z_0)=\min_{\overline{D}} u. Ainda não sabemos se esse z_0 está em \partial D ou em D; a próxima parte prova que não pode estar em D salvo se u for constante.

Passo 3

Suponha, para obter contradição, que u atinja um mínimo em um ponto interior a\in D. Vou transformar o problema em algo sobre o módulo de uma função analítica, porque existe um teorema forte para módulos: o Princípio do Módulo Máximo. Defino a função
g(z)=e^{f(z)}.
Explico por que essa escolha funciona: a exponencial é inteira (analítica em todo \mathbb{C}), e a composição de funções analíticas é analítica; portanto g é analítica em D. Além disso, \exp nunca é zero, então g(z)\neq 0 para todo z. Agora observe o módulo de g:
|g(z)|=|e^{f(z)}|=e^{\Re(f(z))}=e^{u(z)}.
Ou seja, o módulo de g é exatamente a exponencial da parte real u.

Passo 4

Analisando o efeito do mínimo de u sobre |g|: se u tem um mínimo em a, então u(a)\le u(z) para z próximos a a. Como a exponencial é estritamente crescente, isto implica que |g(a)|=e^{u(a)}\le e^{u(z)}=|g(z)| para z perto de a. Assim |g| tem um mínimo local em a. Equivalente e mais conveniente para aplicar o Princípio do Módulo Máximo é considerar a função recíproca
h(z)=\frac{1}{g(z)}=e^{-f(z)}.
A função h é também analítica em D (pois g não se anula). Seu módulo é
|h(z)|=e^{-u(z)}.
Se u tem mínimo em a, então e^{-u} tem máximo em a; logo |h| tem um máximo local em a.

Passo 5

Vou usar agora o Princípio do Módulo Máximo (MMP), que diz o seguinte (explicação didática): se uma função H é analítica em um domínio conectado e não é constante, então |H(z)| não pode atingir um máximo local em um ponto interior do domínio. “Máximo local” significa que existe uma vizinhança onde |H(z)|\le |H(a)| com igualdade em a. Assim, se encontrarmos uma função analítica cujo módulo tem máximo local interior, essa função deve ser constante.
Aplicando o MMP a h: como vimos, |h| teria um máximo local em a. Pelo Princípio do Módulo Máximo, h deve ser constante em todo o componente conexo de D que contém a. Portanto h é constante em D. Se h é constante, então g=1/h é constante, e então f=\log g é constante (mais rigorosamente, g constante implica que f tem parte real constante; como f é contínua/analítica e e^{f} constante, deduz-se que f é constante em D). Em particular, u=\Re(f) é constante.

Passo 6

Resumindo a contradição: assumimos que u atinge um mínimo em um ponto interior a. Isso forçou, via g e h e o MMP, que u seja constante em D. Portanto, se u não é constante, não existe mínimo interior em D. Juntando com o Passo 2 (existência de mínimo em \overline{D}), concluímos que o valor mínimo de u deve ser atingido em algum ponto da fronteira \partial D, e não em D.

Passo 7

Comentário final didático e alternativa: a prova que usei explora que |e^{f(z)}|=e^{u(z)} transforma um problema sobre mínimos de u em um problema sobre máximos de módulo de uma função analítica, permitindo o uso do Princípio do Módulo Máximo. Outra rota clássica é usar diretamente a propriedade média das funções harmônicas: uma função harmônica satisfaz a propriedade da média (o valor no centro é média sobre qualquer círculo centrado ali), e dessa propriedade segue que uma função harmônica não pode ter mínimo estrito interno sem ser constante. Ambas as abordagens são equivalentes em espírito; a que usei faz ligação direta com analiticidade de f e com o MMP.

Resposta

A função u atinge seu mínimo em \partial D e não pode assumir um mínimo em ponto interior de D, salvo no caso em que u é constante.

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