Sendo \Gamma o círculo unitário z=\exp (i \theta), orientado de \theta=-\pi a \theta=\pi, e k uma constante real qualquer, mostre primeiro que
\oint_{\Gamma} \frac{e^{i z}}{z} d z=2 \pi i
e, a seguir, escreva a integral em termos de \theta para deduzir a fórmula
\int_{0}^{\pi} e^{k \cos \theta} \cos (k \sin (\theta)) d \theta=\pi

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dado o círculo unitário \Gamma parametrizado por \displaystyle z=e^{i\theta} com \theta variando de -\pi a \pi.
  • k é uma constante real qualquer.
Perguntas pedidas:
  1. Mostrar que \displaystyle \oint_{\Gamma}\frac{e^{i z}}{z}\,dz=2\pi i.
  2. Escrever a integral de contorno em termos de \theta e, a partir disso, deduzir a fórmula \displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{k\cos\theta}\cos\bigl(k\sin\theta\bigr)\,d\theta=\pi.

Passo 2

Mostrar \displaystyle \oint_{\Gamma}\frac{e^{i z}}{z}\,dz=2\pi i.
  • Ideia básica (ferramenta): Cauchy / teoria dos resíduos (versão elementar). Se f é analítica dentro e sobre uma curva fechada simples \Gamma e a está dentro de \Gamma, então
\oint_{\Gamma}\frac{f(z)}{z-a}\,dz=2\pi i\,f(a).
Aqui podemos aplicar com f(z)=e^{i z} e a=0. Note que e^{i z} é inteira (analítica em todo \mathbb{C}), logo a hipótese vale.
  • Aplicando a fórmula com a=0 obtemos
\oint_{\Gamma}\frac{e^{i z}}{z}\,dz=2\pi i\,e^{i\cdot 0}=2\pi i.
Observação alternativa (para entender o porquê do coeficiente ser 1): expandindo em série de Taylor em torno de 0,
e^{i z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i z)^n}{n!},
logo
\frac{e^{i z}}{z}=\frac{1}{z}+\text{(termos analíticos em }z),í
o termo em 1/z tem coeficiente 1, que é exatamente o resíduo em 0. Assim o integral é 2\pi i vezes esse coeficiente, ou seja 2\pi i.

Passo 3

Generalização útil: o mesmo raciocínio vale para \displaystyle \oint_{\Gamma}\frac{e^{k z}}{z}\,dz com k\in\mathbb{R} (ou mesmo k\in\mathbb{C}), porque e^{k z} é também inteira e e^{k\cdot 0}=1. Portanto, para qualquer k,
\oint_{\Gamma}\frac{e^{k z}}{z}\,dz=2\pi i.
Vou usar essa forma com k para obter a identidade trigonométrica pedida.

Passo 4

Parametrização do integral em termos de \theta.
Usando z=e^{i\theta} com \theta\in[-\pi,\pi] temos \,dz=i e^{i\theta} d\theta. Substituindo em
\oint_{\Gamma}\frac{e^{k z}}{z}\,dz=2\pi i
obtemos, passo a passo,
\oint_{\Gamma}\frac{e^{k z}}{z}\,dz=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{k e^{i\theta}}}{e^{i\theta}}\,\bigl(i e^{i\theta} d\theta\bigr) =\int_{-\pi}^{\pi} i\,e^{k e^{i\theta}}\,d\theta.
Como o lado esquerdo vale 2\pi i, temos
2\pi i=\int_{-\pi}^{\pi} i\,e^{k e^{i\theta}}\,d\theta.
Dividindo ambos os lados por i resulta
\int_{-\pi}^{\pi} e^{k e^{i\theta}}\,d\theta=2\pi.

Passo 5

Separar parte real e imaginária e usar simetrias.
Escrevemos o exponencial complexo explicitamente:
e^{k e^{i\theta}}=e^{k(\cos\theta+i\sin\theta)}=e^{k\cos\theta}\,e^{i k\sin\theta} =e^{k\cos\theta}\bigl(\cos(k\sin\theta)+i\sin(k\sin\theta)\bigr).
Substituindo na integral já obtida:
\int_{-\pi}^{\pi} e^{k\cos\theta}\bigl(\cos(k\sin\theta)+i\sin(k\sin\theta)\bigr)\,d\theta=2\pi.
Separamos em parte real A e imaginária B:
A:=\int_{-\pi}^{\pi} e^{k\cos\theta}\cos(k\sin\theta)\,d\theta, \qquad B:=\int_{-\pi}^{\pi} e^{k\cos\theta}\sin(k\sin\theta)\,d\theta.
A igualdade complexa acima dá
A+iB=2\pi.
Agora usamos simetrias:
  • A função \theta\mapsto e^{k\cos\theta} é par, porque \cos(-\theta)=\cos\theta.
  • A função \theta\mapsto \cos(k\sin\theta) também é par, pois \sin(-\theta)=-\sin\theta e \cos é par.
  • A função \theta\mapsto \sin(k\sin\theta) é ímpar, pois \sin(k\sin(-\theta))=\sin(-k\sin\theta)=-\sin(k\sin\theta).
Logo o integrando de B é produto de uma função par por uma ímpar, resultando em função ímpar; a integral simétrica de uma função ímpar sobre [-\,\pi,\pi] é zero. Assim B=0.
Com B=0 segue A=2\pi, ou seja
\int_{-\pi}^{\pi} e^{k\cos\theta}\cos(k\sin\theta)\,d\theta=2\pi.
Além disso o integrando de A é par (produto de duas pares), então a integral sobre [-\,\pi,\pi] é duas vezes a integral sobre [0,\pi]:
2\pi= \int_{-\pi}^{\pi} e^{k\cos\theta}\cos(k\sin\theta)\,d\theta =2\int_{0}^{\pi} e^{k\cos\theta}\cos(k\sin\theta)\,d\theta.

Passo 6

Dividindo por 2 obtemos a fórmula desejada:
\int_{0}^{\pi} e^{k\cos\theta}\cos\bigl(k\sin\theta\bigr)\,d\theta=\pi.

Resposta

\displaystyle \oint_{\Gamma}\frac{e^{i z}}{z}\,dz=2\pi i
\displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{k\cos\theta}\cos\bigl(k\sin\theta\bigr)\,d\theta=\pi

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