Sendo
o círculo unitário
, orientado de
a
, e
uma constante real qualquer, mostre primeiro que
e, a seguir, escreva a integral em termos de
para deduzir a fórmula
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Dado o círculo unitário
parametrizado por com variando de a . -
é uma constante real qualquer.
Perguntas pedidas:
- Mostrar que
. - Escrever a integral de contorno em termos de
e, a partir disso, deduzir a fórmula .
Passo 2
Mostrar
.
- Ideia básica (ferramenta): Cauchy / teoria dos resíduos (versão elementar). Se
é analítica dentro e sobre uma curva fechada simples e está dentro de , então
Aqui podemos aplicar com
e
. Note que
é inteira (analítica em todo
), logo a hipótese vale.
- Aplicando a fórmula com
obtemos
Observação alternativa (para entender o porquê do coeficiente ser 1): expandindo em série de Taylor em torno de
,
logo
o termo em
tem coeficiente
, que é exatamente o resíduo em
. Assim o integral é
vezes esse coeficiente, ou seja
.
Passo 3
Generalização útil: o mesmo raciocínio vale para
com
(ou mesmo
), porque
é também inteira e
. Portanto, para qualquer
,
Vou usar essa forma com
para obter a identidade trigonométrica pedida.
Passo 4
Parametrização do integral em termos de
.
Usando
com
temos
. Substituindo em
obtemos, passo a passo,
Como o lado esquerdo vale
, temos
Dividindo ambos os lados por
resulta
Passo 5
Separar parte real e imaginária e usar simetrias.
Escrevemos o exponencial complexo explicitamente:
Substituindo na integral já obtida:
Separamos em parte real
e imaginária
:
A igualdade complexa acima dá
Agora usamos simetrias:
- A função
é par, porque . - A função
também é par, pois e é par. - A função
é ímpar, pois .
Logo o integrando de
é produto de uma função par por uma ímpar, resultando em função ímpar; a integral simétrica de uma função ímpar sobre
é zero. Assim
.
Com
segue
, ou seja
Além disso o integrando de
é par (produto de duas pares), então a integral sobre
é duas vezes a integral sobre
:
Passo 6
Dividindo por
obtemos a fórmula desejada: