Determine o raio de convergência (R) das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \cos ^{n}\left(\frac{\pi i}{\sqrt{n}}\right) z^{n}.
Resposta: R=1

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \cos^{n}\!\left(\frac{\pi i}{\sqrt{n}}\right) z^{n}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Os coeficientes da série são a_n=\cos^{n}\!\left(\dfrac{\pi i}{\sqrt{n}}\right).
  • Aqui vou interpretar i como a unidade imaginária ( i^2=-1), que é a leitura natural quando aparece i dentro de uma função trigonométrica com argumento complexo.
  • A pergunta é: qual é o raio de convergência R dessa série de potências?

Passo 2

Fórmula que usamos para achar o raio de convergência: a fórmula de Cauchy–Hadamard.
Explique isso de forma simples: se a série de potências é \sum_{n} a_n z^n, então o raio de convergência é
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
O que significa cada coisa:
  • \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz enésima do módulo do coeficiente a_n.
  • \limsup_{n\to\infty} é o limite superior quando n cresce — no nosso caso veremos que o limite superior é, na verdade, um limite comum.
    Essa fórmula é uma forma de aplicar o teste da raiz à série de potências e é a ferramenta padrão para achar R.

Passo 3

Calcule \sqrt[n]{|a_n|} para os nossos coeficientes.
Como a_n=\cos^{n}\!\left(\dfrac{\pi i}{\sqrt{n}}\right), temos
\sqrt[n]{|a_n|}=\left|\cos\!\left(\frac{\pi i}{\sqrt{n}}\right)\right|.
Justificativa: a raiz enésima de uma potência b^n (com b complexo) dá |b| quando tomamos o módulo e a raiz enésima, portanto \sqrt[n]{|b^n|}=|b|.

Passo 4

Simplifique a função trigonométrica com argumento imaginário.
Use a identidade bem conhecida (provém da definição exponencial das funções trigonométricas):
\cos(i x)=\frac{e^{i(i x)}+e^{-i(i x)}}{2}=\frac{e^{-x}+e^{x}}{2}=\operatorname{cosh}(x).
Aplicando com x=\dfrac{\pi}{\sqrt{n}} obtemos
\cos\!\left(\frac{\pi i}{\sqrt{n}}\right)=\operatorname{cosh}\!\left(\frac{\pi}{\sqrt{n}}\right).
Portanto, a expressão do passo anterior fica
\sqrt[n]{|a_n|}=\left|\operatorname{cosh}\!\left(\frac{\pi}{\sqrt{n}}\right)\right|.
Como \operatorname{cosh} é real e positiva para argumentos reais, podemos tirar o módulo:
\sqrt[n]{|a_n|}=\operatorname{cosh}\!\left(\frac{\pi}{\sqrt{n}}\right).

Passo 5

Avalie o limite (ou \limsup) quando n\to\infty.
Para x pequeno, a expansão em série de Taylor de \operatorname{cosh} x é
\operatorname{cosh} x = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\quad\text{quando }x\to 0.
Substituindo x=\dfrac{\pi}{\sqrt{n}} (que vai a 0 quando n\to\infty) dá
\operatorname{cosh}\!\left(\frac{\pi}{\sqrt{n}}\right)=1+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{\sqrt{n}}\right)^2+o\!\left(\frac{1}{n}\right) =1+\frac{\pi^2}{2n}+o\!\left(\frac{1}{n}\right).
Daí segue que
\lim_{n\to\infty}\operatorname{cosh}\!\left(\frac{\pi}{\sqrt{n}}\right)=1.
Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1.

Passo 6

Use a fórmula de Cauchy–Hadamard com o valor encontrado.
Como \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1, o raio de convergência é
R=\frac{1}{1}=1.
Comentário intuitivo rápido: embora \operatorname{cosh}(\pi/\sqrt{n}) seja ligeiramente maior que 1 para cada n, essa diferença é da ordem 1/n, e \operatorname{cosh}(\pi/\sqrt{n})^{\,n} tende para uma constante positiva (não explode como c^n com c>1). Isso não altera o raio, que fica 1.

Resposta

R=1

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