Os coeficientes da série são a_n=\cos^{n}\!\left(\dfrac{\pi i}{\sqrt{n}}\right).
Aqui vou interpretar i como a unidade imaginária (i^2=-1), que é a leitura natural quando aparece i dentro de uma função trigonométrica com argumento complexo.
A pergunta é: qual é o raio de convergência R dessa série de potências?
Passo 2
Fórmula que usamos para achar o raio de convergência: a fórmula de Cauchy–Hadamard.
Explique isso de forma simples: se a série de potências é \sum_{n} a_n z^n, então o raio de convergência é
\sqrt[n]{|a_n|} é a raiz enésima do módulo do coeficiente a_n.
\limsup_{n\to\infty} é o limite superior quando n cresce — no nosso caso veremos que o limite superior é, na verdade, um limite comum.
Essa fórmula é uma forma de aplicar o teste da raiz à série de potências e é a ferramenta padrão para achar R.
Passo 3
Calcule \sqrt[n]{|a_n|} para os nossos coeficientes.
Como a_n=\cos^{n}\!\left(\dfrac{\pi i}{\sqrt{n}}\right), temos
Justificativa: a raiz enésima de uma potência b^n (com b complexo) dá |b| quando tomamos o módulo e a raiz enésima, portanto \sqrt[n]{|b^n|}=|b|.
Passo 4
Simplifique a função trigonométrica com argumento imaginário.
Use a identidade bem conhecida (provém da definição exponencial das funções trigonométricas):
Use a fórmula de Cauchy–Hadamard com o valor encontrado.
Como \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1, o raio de convergência é
R=\frac{1}{1}=1.
Comentário intuitivo rápido: embora \operatorname{cosh}(\pi/\sqrt{n}) seja ligeiramente maior que 1 para cada n, essa diferença é da ordem 1/n, e \operatorname{cosh}(\pi/\sqrt{n})^{\,n} tende para uma constante positiva (não explode como c^n com c>1). Isso não altera o raio, que fica 1.