1. Determine o raio de convergência e a região de convergência de ã(z)ã, onde:
    (a) an=1n!;
    (b) an=n 2^n;
    (c) an=cos (omega n), omega in C;
    (d) an=sin (omega n), omega in C.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e a região de convergência (ROC) da série de potências
tilde a(z)=sumn=0^inftyan z^n
em quatro casos diferentes de an. O conteúdo central é o teste da raiz para séries de potências, que diz que
R ;=;1limsupntoinftyl|anr|^1/n,
e a região de convergência é o disco zinC:|z|<R.

Passo 2

Aplicamos a fórmula geral
R=1limsupntoinfty|an|^1/n
caso a caso, estimando limsupntoinfty|an|^1/n por métodos diretos ou usando aproximações (como Stirling para fatoriais ou formas exponenciais de funções trigonométricas complexas).

Passo 3

Caso (a): an=tfrac1n!.
Pelo teste da raiz:
|an|^1/n=l(n!r)^-1/nlongrightarrow0
pois n!^1/nsim n/etoinfty. Logo
limsupntoinfty|an|^1/n=0 Longrightarrow R=10=infty
A série converge para todo zinC.

Passo 4

Caso (b): an=n,2^n.
Temos
|an|^1/n=l(n,2^nr)^1/n =n^1/n,2longrightarrow1cdot2=2
Logo
limsupntoinfty|an|^1/n=2 Longrightarrow R=12
A ROC é z:|z|<tfrac12.

Passo 5

Caso (c): an=cos(omega n), com omegainC.
Usamos a forma exponencial:
cos(omega n) =e^iomega n+e^-iomega n2,
então
l|cos(omega n)r|<=e^-Im(omega),n+e^Im(omega),n2 sim12,e^|Im(omega)|,n (ntoinfty)
Dessa forma
limsupntoinftyl|cos(omega n)r|^1/n =e^|Im(omega)|,
e
R=e^-|Im(omega)|
A ROC é z:|z|<e^-|Im(omega)|.
Em particular, se omegainR então Im(omega)=0 e R=1.

Passo 6

Caso (d): an=sin(omega n), com omegainC.
De modo análogo,
sin(omega n) =e^iomega n-e^-iomega n2i
tem crescimento assintótico igual ao de cos(omega n). Logo
limsupntoinftyl|sin(omega n)r|^1/n =e^|Im(omega)|,
e assim
R=e^-|Im(omega)|,
com ROC z:|z|<e^-|Im(omega)|. De novo, se omegainR então R=1.

Resposta

(a) R=infty. ROC: todo C.
(b) R=tfrac12. ROC: z:|z|<tfrac12.
(c) R=e^-|Im(omega)|. ROC: z:|z|<e^-|Im(omega)| (em especial, R=1 se omegainR).
(d) R=e^-|Im(omega)|. ROC: z:|z|<e^-|Im(omega)| (em especial, R=1 se omegainR).

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