Determine o raio de convergência e a região de convergência de , onde:
(a) ;
(b) ;
(c) ;
(d) .
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e a região de convergência (ROC) da série de potências
em quatro casos diferentes de . O conteúdo central é o teste da raiz para séries de potências, que diz que
e a região de convergência é o disco zinC:|z|<R.
Passo 2
Aplicamos a fórmula geral
R=1limsupntoinfty|an|^1/n
caso a caso, estimando limsupntoinfty|an|^1/n por métodos diretos ou usando aproximações (como Stirling para fatoriais ou formas exponenciais de funções trigonométricas complexas).
com ROC z:|z|<e^-|Im(omega)|. De novo, se omegainR então R=1.
Resposta
(a) R=infty. ROC: todo C.
(b) R=tfrac12. ROC: z:|z|<tfrac12.
(c) R=e^-|Im(omega)|. ROC: z:|z|<e^-|Im(omega)| (em especial, R=1 se omegainR).
(d) R=e^-|Im(omega)|. ROC: z:|z|<e^-|Im(omega)| (em especial, R=1 se omegainR).