Mostre que fx(0,0) e fy(0,0) existem, mas f não é diferenciável em (0,0). (Sugestão: utilize o Teorema 4, do livro Cálculo, vol. 2, George B. Thomas, e mostre que f não é contínua em ( 0,0 ).)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função f(x, y) definida de duas formas: uma para qualquer ponto (x, y) diferente de (0,0) e outra especificamente para o ponto (0,0). Nosso objetivo é mostrar que as derivadas parciais de f em relação a x e y no ponto (0,0) existem, mas que a função f não é diferenciável nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais, diferenciabilidade e continuidade de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0), denotada por fx(0,0) , mede a taxa de variação de f quando movemos apenas na direção x , mantendo y fixo. Similarmente, fy(0,0) faz o mesmo na direção y .
Para encontrar essas derivadas, vamos usar a definição de derivada parcial:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k
Passo 3
Vamos calcular fx(0,0) primeiro. Substituindo na fórmula:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
Sabemos que f(0,0) = 0 . E para f(h, 0) , como y = 0 , temos:
f(h, 0) = h cdot 0^2h^2 + 0^4 = 0
Então:
fx(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0
Passo 4
Agora, vamos calcular fy(0,0) . Usando a definição:
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k
Sabemos que f(0,0) = 0 . E para f(0, k) , como x = 0 , temos:
f(0, k) = 0 cdot k^20^2 + k^4 = 0
Então:
fy(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0
Passo 5
Agora que mostramos que ambas as derivadas parciais existem e são iguais a zero, o próximo passo é verificar se a função f é diferenciável em (0,0). Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e suas derivadas parciais devem existir e serem contínuas por perto.
A dica do exercício sugere usarmos o Teorema 4 do livro do George B. Thomas, que relaciona diferenciabilidade com continuidade. Portanto, vamos verificar se f é contínua em (0,0).
Passo 6
Para verificar a continuidade de f em (0,0), precisamos checar se:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) = 0
Vamos analisar o limite. Uma boa estratégia é calcular o limite ao aproximar (x, y) por diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo resultado.
Passo 7
Vamos considerar o caminho onde y = 0 . Então:
f(x, 0) = x cdot 0^2x^2 + 0^4 = 0
Agora, consideremos o caminho onde y = x^1/2 . Substituindo:
f(x, x^1/2) = x cdot (x^1/2)^2x^2 + (x^1/2)^4 = x cdot xx^2 + x^2 = x^22x^2 = 12
Passo 8
Observamos que ao seguir o caminho y = 0 , o limite é 0, mas ao seguir y = x^1/2 , o limite é 12 . Como obtenhamos limites diferentes dependendo do caminho seguido, o limite geral não existe. Portanto:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) não existe ã
Passo 9
Como o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) não é igual a f(0,0) = 0 , concluímos que f não é contínua em (0,0).
Passo 10
Finalmente, já que f não é contínua em (0,0), automaticamente ela não pode ser diferenciável nesse ponto, mesmo que as derivadas parciais existam.
Resposta
As derivadas parciais fx(0,0) e fy(0,0) existem e são iguais a zero, mas a função f não é diferenciável em (0,0) porque não é contínua nesse ponto.