Determine o termo geral das sequências abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida pela relação
, e sabemos que
. Nosso objetivo é encontrar o termo geral dessa sequência, ou seja, uma fórmula que nos diga qualquer
diretamente, sem precisar calcular todos os anteriores. Para isso, vamos usar conhecimentos de recorrências lineares e progressões geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. A equação dada é:
Vamos adicionar
dos dois lados:
Agora, para achar
, dividimos ambos os lados por
:
Então, simplificamos para:
Passo 3
Agora, vemos que temos uma relação de recorrência linear de primeira ordem, onde cada termo é uma constante vezes o termo anterior. Isso caracteriza uma progressão geométrica, onde a razão
é constante.
Aqui, a razão
é:
Passo 4
Sabendo que
e que
, podemos escrever o termo geral de uma progressão geométrica. A fórmula do termo geral
é:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
O termo geral da sequência é
.