Determine o termo geral das sequências abaixo:
e^n+1 an+1-3 e^n an=0, a0=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida pela relação e^n+1 an+1 - 3 e^n an = 0, e sabemos que a0 = 1. Nosso objetivo é encontrar o termo geral dessa sequência, ou seja, uma fórmula que nos diga qualquer an diretamente, sem precisar calcular todos os anteriores. Para isso, vamos usar conhecimentos de recorrências lineares e progressões geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar an+1. A equação dada é:
e^n+1 an+1 - 3 e^n an = 0
Vamos adicionar 3 e^n an dos dois lados:
e^n+1 an+1 = 3 e^n an
Agora, para achar an+1, dividimos ambos os lados por e^n+1:
an+1 = 3 e^n ane^n+1 = 3e an
Então, simplificamos para:
an+1 = 3e an

Passo 3

Agora, vemos que temos uma relação de recorrência linear de primeira ordem, onde cada termo é uma constante vezes o termo anterior. Isso caracteriza uma progressão geométrica, onde a razão r é constante.
Aqui, a razão r é:
r = 3e

Passo 4

Sabendo que an+1 = r an e que a0 = 1, podemos escrever o termo geral de uma progressão geométrica. A fórmula do termo geral an é:
an = a0 cdot r^n
Substituindo os valores que temos:
an = 1 cdot (3e)^n = (3e)^n

Resposta

O termo geral da sequência é an = (dfrac3e)^n.

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