O valor médio de uma função contínua em um domínio sólido é definido por
onde é o volume do sólido. Escreva a integral que calcula o valor médio de na região esférica .
Obs.: O volume de uma esfera de centro na origem e raio é igual a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor médio da função dentro de uma esfera de raio 1, centrada na origem, ou seja, na região onde . Para isso, vamos precisar usar a definição de valor médio de uma função em um domínio sólido, que envolve integrais triplas. Além disso, como estamos lidando com uma esfera, faz sentido usar coordenadas esféricas para facilitar nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do valor médio de uma função contínua em um domínio sólido :
Aqui, é o volume do sólido . No nosso caso, é a esfera de raio 1, então o volume é:
Passo 3
Agora, vamos expressar a função [f(x, y, z) = xyz) em coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, as variáveis cartesianas são relacionadas por:
Substituindo essas expressões na função (f]:
Passo 4
O próximo passo é determinar o elemento de volume dV em coordenadas esféricas, que é dado por:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Também precisamos estabelecer os limites de integração para cada variável:
rho varia de 0 a 1 (raio da esfera);
phi varia de 0 a pi (ângulo polar);
theta varia de 0 a 2pi (ângulo azimutal).
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla que calcula o valor médio da função f na esfera. Substituindo tudo o que encontramos na fórmula do valor médio:
fméd = 143 pi integral0^2pi integral0^pi integral0^1 rho^3 sin^2phi costheta sintheta cosphi times rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta é